Calcul intégral cours et exercices corrigés

A. Intégrale d'une fonction sur un intervalle

1. Intégrale d'une fonction continue sur un intervalle

Définition

Soit \( f \) une fonction continue sur un intervalle \( I \), \( a \) et \( b \) deux éléments de \( I \).

On appelle intégrale de \( f \) de \( a \) à \( b \), notée \( \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \), le nombre réel \( F(b) - F(a) \), où \( F \) est une primitive quelconque de \( f \) sur \( I \). \[ \int_a^b f(x)\,dx \;=\; F(b) - F(a) \]

Remarques

• On note aussi : \( \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a) \).

• Les réels \( a \) et \( b \) sont appelés les bornes de l'intégrale \( \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \).

• Dans l'écriture \( \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \), la variable \( x \) est muette, elle peut être remplacée par toute autre variable : \[ \int_a^b f(x)\,dx \;=\; \int_a^b f(y)\,dy \;=\; \int_a^b f(t)\,dt \;=\; \cdots \] • La notation \( dx \), \( dy \), \( dt \), … indique la variable par rapport à laquelle on intègre la fonction.

2. Propriétés algébriques

Propriété (1)

Soit \( f \) et \( g \) deux fonctions continues sur un intervalle \( I \) contenant \( a \), \( b \) et \( c \), et \( \alpha \) un nombre réel.

1. \( \displaystyle\int_a^a f(x)\,dx = 0 \)   et   \( \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx \).

2. \( \displaystyle\int_a^b \big(f + g\big)(x)\,dx \;=\; \int_a^b f(x)\,dx \;+\; \int_a^b g(x)\,dx \).

3. \( \displaystyle\int_a^b \alpha\,dx = \alpha(b - a) \)   et   \( \displaystyle\int_a^b \alpha\,f(x)\,dx = \alpha\int_a^b f(x)\,dx \).

4. Relation de Chasles : \[ \int_a^b f(x)\,dx \;=\; \int_a^c f(x)\,dx \;+\; \int_c^b f(x)\,dx \]

Propriété (2)

Soit \( f \) et \( g \) deux fonctions continues sur un intervalle \( [a\,;b] \).

1. Si \( f \) est positive sur \( [a\,;b] \), alors \( \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \geq 0 \)   et   \( \displaystyle\int_b^a f(x)\,dx \leq 0 \).

2. Si \( f \) est négative sur \( [a\,;b] \), alors \( \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \leq 0 \)   et   \( \displaystyle\int_b^a f(x)\,dx \geq 0 \).

3. Si \( f \geq g \) sur \( [a\,;b] \), alors \( \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \;\geq\; \int_a^b g(x)\,dx \).

4. S'il existe deux réels \( m \) et \( M \) tels que pour tout \( x \) de \( [a\,;b] \) : \( m \leq f(x) \leq M \), alors : \[ m(b - a) \;\leq\; \int_a^b f(x)\,dx \;\leq\; M(b - a) \]

Remarques

• Si la fonction \( f \) change de signe sur \( [a\,;b] \), alors on ne peut pas conclure sur le signe de \( \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \).

• Réciproquement, si \( \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \geq 0 \), alors la fonction \( f \) n'est pas forcément positive sur \( [a\,;b] \).

Conséquences

Soit \( f \) une fonction continue sur un intervalle \( [a\,;b] \).

1. \( \displaystyle\left|\int_a^b f(x)\,dx\right| \;\leq\; \int_a^b \big|f(x)\big|\,dx \).

2. S'il existe un réel \( k \) tel que pour tout \( x \) de \( [a\,;b] \) : \( \big|f(x)\big| \leq k \), alors : \[ \left|\int_a^b f(x)\,dx\right| \;\leq\; k\,(b - a) \]

B. Méthodes de calcul d'intégrales

1. Primitives d'une fonction

Fonction \( f \)	Primitive \( F \)	Ensemble
\( a \) (constante)	\( ax + c \)	\( \mathbb{R} \)
\( x^n \quad (n \in \mathbb{N}) \)	\( \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + c \)	\( \mathbb{R} \)
\( \dfrac{1}{x^n} = x^{-n} \quad (n \in \mathbb{N}\setminus\{-1\}) \)	\( \dfrac{x^{-n+1}}{-n+1} + c \)	\( \mathbb{R}\setminus\{0\} \)
\( x^r \quad (r \in \mathbb{Q}\setminus\{-1\}) \)	\( \dfrac{x^{r+1}}{r+1} + c \)	\( \mathbb{R}_+^* \)
\( \cos(ax + b) \)	\( \dfrac{1}{a}\sin(ax + b) + c \)	\( \mathbb{R} \)
\( \sin(ax + b) \)	\( -\dfrac{1}{a}\cos(ax + b) + c \)	\( \mathbb{R} \)
\( 1 + \tan^2(x) = \dfrac{1}{\cos^2(x)} \)	\( \tan(x) + c \)	\( \mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right\} \)
\( \dfrac{1}{x} \)	\( \ln|x| + c \)	\( \mathbb{R}\setminus\{0\} \)
\( e^x \)	\( e^x + c \)	\( \mathbb{R} \)

Primitives des fonctions composées

Fonction \( f \)	Primitive \( F \)	Conditions
\( \dfrac{u'(x)}{u(x)} \)	\( \ln\big|u(x)\big| + c \)	\( u \) dérivable, \( u \neq 0 \)
\( u'(x)\,e^{u(x)} \)	\( e^{u(x)} + c \)	\( u \) dérivable
\( u'(x) \times \big[u(x)\big]^r \quad (r \neq -1) \)	\( \dfrac{\big[u(x)\big]^{r+1}}{r+1} + c \)	\( u \) dérivable, \( u^r \) définie

2. Intégration par parties

Propriété

\( a \) et \( b \) étant deux réels d'un intervalle \( I \).
Soit \( u \) et \( v \) deux fonctions dérivables sur \( I \) telles que \( u' \) et \( v' \) sont continues sur \( I \). \[ \int_a^b u'(x)\,v(x)\,dx \;=\; \Big[u(x) \cdot v(x)\Big]_a^b \;-\; \int_a^b u(x)\,v'(x)\,dx \]

C. Interprétation géométrique de l'intégrale

Dans tout ce qui suit, le plan est rapporté à un repère orthogonal \( (O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\,) \).
L'unité d'aire (u.a.) est : \( \text{u.a.} = \|\vec{\imath}\,\| \times \|\vec{\jmath}\,\| \).

1. Cas d'une fonction positive

Propriété

Soit \( a \) et \( b \) deux nombres réels tels que \( a \leq b \).

Si \( f \) est une fonction continue et positive sur l'intervalle \( [a\,;b] \), alors l'aire du domaine \( \mathcal{D} \) délimité par la courbe représentative de \( f \), l'axe des abscisses et les deux droites d'équations \( x = a \) et \( x = b \) est : \[ \mathcal{A} \;=\; \left(\int_a^b f(x)\,dx\right)\;\text{u.a.} \]

2. Cas d'une fonction négative

Propriété

Soit \( a \) et \( b \) deux réels tels que \( a \leq b \).

Si \( f \) est une fonction continue et négative sur l'intervalle \( [a\,;b] \), alors \( -f \) est positive sur \( [a\,;b] \).

Dans ce cas, l'aire du domaine \( \mathcal{D} \) délimité par la courbe représentative de \( f \), l'axe des abscisses et les deux droites d'équations \( x = a \) et \( x = b \) est : \[ \mathcal{A} \;=\; \left(\int_a^b \big(-f(x)\big)\,dx\right)\;\text{u.a.} \;=\; \left(-\int_a^b f(x)\,dx\right)\;\text{u.a.} \]

3. Valeur moyenne d'une fonction continue sur un intervalle

Soit \( a \) et \( b \) deux nombres réels tels que \( a \leq b \). On suppose que \( f \) est une fonction continue et positive sur \( [a\,;b] \), et on note \( \mathcal{D} \) le domaine délimité par \( (\mathcal{C}_f) \), l'axe des abscisses et les droites \( x = a \) et \( x = b \).

Comme \( f \) est continue sur \( [a\,;b] \), elle est bornée et atteint ses bornes. Il existe donc deux réels \( m \) et \( M \) tels que :

\[ m \;=\; \min_{x \in [a;b]} f(x) \quad \text{et} \quad M \;=\; \max_{x \in [a;b]} f(x) \]

Par la propriété d'encadrement :

\[ m(b - a) \;\leq\; \int_a^b f(x)\,dx \;\leq\; M(b - a) \]

En posant \( \mu = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \), on obtient \( m \leq \mu \leq M \).

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel \( c \in [a\,;b] \) tel que :

\[ f(c) \;=\; \mu \;=\; \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx \]

Interprétation géométrique : l'aire du rectangle de côtés \( f(c) \) et \( (b - a) \) est égale à l'aire du domaine \( \mathcal{D} \).

Définition

Soit \( f \) une fonction continue sur un intervalle \( [a\,;b] \).

On appelle valeur moyenne de la fonction \( f \) sur \( [a\,;b] \), le nombre réel : \[ \mu \;=\; \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx \]

D. Calcul d'aire et de volume

1. Calcul d'aire

Propriété (1) — Aire entre une courbe et l'axe des abscisses

Soit \( f \) une fonction continue sur un intervalle \( [a\,;b] \).

L'aire du domaine \( \mathcal{D} \) délimité par la courbe représentative de \( f \), l'axe des abscisses et les deux droites d'équations \( x = a \) et \( x = b \) est égale à : \[ \mathcal{A} \;=\; \left(\int_a^b \big|f(x)\big|\,dx\right)\;\text{u.a.} \]

Interprétation géométrique : pour calculer l'aire d'un domaine défini par une fonction de signe quelconque, il faut déterminer les intervalles sur lesquels la fonction est positive et ceux sur lesquels elle est négative, puis on applique la relation de Chasles.

\[ \mathcal{A}_\mathcal{D} = \left(\int_a^b \big|f(x)\big|\,dx\right)\;\text{u.a.} \;=\; \left(+\int_a^{c_1} f(x)\,dx \;-\; \int_{c_1}^{c_2} f(x)\,dx \;+\; \int_{c_2}^{c_3} f(x)\,dx \;-\; \int_{c_3}^{b} f(x)\,dx\right)\;\text{u.a.} \]

Propriété (2) — Aire entre deux courbes

Soit \( f \) et \( g \) deux fonctions continues sur un intervalle \( [a\,;b] \).

L'aire du domaine \( \mathcal{D} \) délimité par la courbe représentative de \( f \), la courbe représentative de \( g \) et les deux droites d'équations \( x = a \) et \( x = b \) est égale à : \[ \mathcal{A} \;=\; \left(\int_a^b \big|f(x) - g(x)\big|\,dx\right)\;\text{u.a.} \]

Interprétation géométrique : s'il existe un réel \( c \in [a\,;b] \) tel que \( f \leq g \) sur \( [a\,;c] \) et \( f \geq g \) sur \( [c\,;b] \) :

\[ \mathcal{A}_\mathcal{D} = \left(\int_a^b \big|f(x) - g(x)\big|\,dx\right)\;\text{u.a.} \;=\; \left(-\int_a^c \big(f(x) - g(x)\big)\,dx \;+\; \int_c^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx\right)\;\text{u.a.} \]

2. Calcul de volume

Propriété

Soit \( f \) une fonction continue sur un intervalle \( [a\,;b] \), et \( \mathcal{D} \) la partie du plan délimitée par \( (\mathcal{C}_f) \), l'axe des abscisses et les droites \( x = a \) et \( x = b \).

Le volume du solide de révolution engendré par la rotation de \( \mathcal{D} \) autour de l'axe des abscisses est : \[ V \;=\; \pi\int_a^b \big(f(x)\big)^2\,dx \quad \text{(u.v.)} \] L'unité de volume est \( \|\vec{\imath}\,\| \times \|\vec{\jmath}\,\| \times \|\vec{k}\,\| \).