Mathématiques au lycée Maroc — cours en ligne, exercices corrigés et examens

**Clé : utiliser l'identité** $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

On remarque que :
$$e^{2^k} + e^{-2^k} = \frac{(e^{2^k})^2 - (e^{-2^k})^2}{e^{2^k} - e^{-2^k}} = \frac{e^{2^{k+1}} - e^{-2^{k+1}}}{e^{2^k} - e^{-2^k}}$$

Donc le produit devient **télescopique** :
$$u_n = \prod_{k=0}^{n} \frac{e^{2^{k+1}} - e^{-2^{k+1}}}{e^{2^k} - e^{-2^k}}$$

En développant :
$$u_n = \frac{e^{2^1} - e^{-2^1}}{e^{2^0} - e^{-2^0}} \cdot \frac{e^{2^2} - e^{-2^2}}{e^{2^1} - e^{-2^1}} \cdot \frac{e^{2^3} - e^{-2^3}}{e^{2^2} - e^{-2^2}} \cdots \frac{e^{2^{n+1}} - e^{-2^{n+1}}}{e^{2^n} - e^{-2^n}}$$

Après **simplification en cascade** :
$$u_n = \frac{e^{2^{n+1}} - e^{-2^{n+1}}}{e^{2^0} - e^{-2^0}} = \frac{e^{2^{n+1}} - e^{-2^{n+1}}}{e^1 - e^{-1}} = \frac{e^{2^{n+1}} - e^{-2^{n+1}}}{e - e^{-1}}$$