Mathématiques au lycée Maroc — cours en ligne, exercices corrigés et examens

On cherche $\lim_{n \to +\infty} \frac{\sin^2 n - \cos^3 n}{n}$.

**Étape 1 : Majoration du numérateur**

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
- $|\sin^2 n| \leq 1$ (puisque $-1 \leq \sin n \leq 1$)
- $|\cos^3 n| \leq 1$ (puisque $-1 \leq \cos n \leq 1$)

**Étape 2 : Inégalité du numérateur**

Par l'inégalité triangulaire :
$$|\sin^2 n - \cos^3 n| \leq |\sin^2 n| + |\cos^3 n| \leq 1 + 1 = 2$$

**Étape 3 : Application du théorème des gendarmes**

On en déduit :
$$\left|\frac{\sin^2 n - \cos^3 n}{n}\right| \leq \frac{2}{n}$$

Comme $\lim_{n \to +\infty} \frac{2}{n} = 0$, par le théorème des gendarmes :
$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\sin^2 n - \cos^3 n}{n} = 0$$