Mathématiques au lycée Maroc — cours en ligne, exercices corrigés et examens

**Étape 1 : Utiliser la périodicité**

Si $f$ est périodique de période $T > 0$, alors pour tout $x \in \mathbb{R}$ :
$$f(x + T) = f(x)$$

**Étape 2 : Analyser la limite**

Si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ existe dans $\mathbb{R}^*$, alors pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $A > 0$ tel que :
$$x > A \implies |f(x) - L| < \varepsilon$$

**Étape 3 : Appliquer la périodicité à la limite**

Pour tout $x > A$, considérons la suite $(x + nT)_{n \in \mathbb{N}}$ avec $n$ assez grand.

Par périodicité : $f(x + nT) = f(x)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Cependant, $x + nT \to +\infty$ quand $n \to +\infty$, donc :
$$\lim_{n \to +\infty} f(x + nT) = L$$

**Étape 4 : Conclusion**

Mais $f(x + nT) = f(x)$ pour tout $n$, donc $f(x) = L$ pour tout $x > A$.

Par périodicité, cette propriété s'étend à tout $\mathbb{R}$ :
$$f(x) = L \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}$$

Donc $f$ est la fonction constante $L$, avec $L \in \mathbb{R}^*$ (c'est-à-dire $L \neq 0$).