Mathématiques au lycée Maroc — cours, exercices et examens en PDF

**Étape 1 : Calculer le module de $z$**

Pour le numérateur :
$$|1-i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$$
$$|(1-i)^{10}| = (\sqrt{2})^{10} = 2^5 = 32$$

Pour le dénominateur :
$$|1+i\sqrt{3}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$$
$$|(1+i\sqrt{3})^4| = 2^4 = 16$$

Donc :
$$|z| = \frac{32}{16} = 2$$

La réponse **a)** et **b)** sont éliminées. ✗

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**Étape 2 : Calculer l'argument de $z$**

Pour le numérateur :
$$\arg(1-i) = -\frac{\pi}{4}$$
$$\arg((1-i)^{10}) = 10 \times \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{10\pi}{4} = -\frac{5\pi}{2}$$

Pour le dénominateur :
$$\arg(1+i\sqrt{3}) = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3}$$
$$\arg((1+i\sqrt{3})^4) = 4 \times \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$$

Donc :
$$\arg(z) = -\frac{5\pi}{2} - \frac{4\pi}{3}$$

Réduction au même dénominateur :
$$\arg(z) = -\frac{15\pi}{6} - \frac{8\pi}{6} = -\frac{23\pi}{6}$$

**Réduction modulo $2\pi$ :**
$$-\frac{23\pi}{6} = -\frac{24\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = -4\pi + \frac{\pi}{6}$$

Comme $-4\pi \equiv 0 \pmod{2\pi}$, on a :
$$\arg(z) \equiv \frac{\pi}{6} \pmod{2\pi}$$