Mathématiques au lycée Maroc — cours, exercices et examens en PDF

**Étape 1 : Utiliser la propriété $|w|^2 = w \cdot \overline{w}$**

On a $|z_1 + z_2|^2 = (z_1 + z_2)(\overline{z_1} + \overline{z_2}) = z_1\overline{z_1} + z_1\overline{z_2} + z_2\overline{z_1} + z_2\overline{z_2}$

**Étape 2 : Simplifier avec les conditions**

Puisque $|z_1| = |z_2| = 1$ :
- $z_1\overline{z_1} = 1$
- $z_2\overline{z_2} = 1$

Donc : $|z_1 + z_2|^2 = 1 + z_1\overline{z_2} + z_2\overline{z_1} + 1 = 2 + (z_1\overline{z_2} + \overline{z_1\overline{z_2}})$

Puisque $z_1\overline{z_2} + \overline{z_1\overline{z_2}} = 2\text{Re}(z_1\overline{z_2})$ :

$$|z_1 + z_2|^2 = 2 + 2\text{Re}(z_1\overline{z_2})$$

**Étape 3 : Calculer $\text{Re}(z_1\overline{z_2})$**

On donne $|z_1 + z_2| = \sqrt{3}$, donc $|z_1 + z_2|^2 = 3$ :

$$3 = 2 + 2\text{Re}(z_1\overline{z_2})$$
$$\text{Re}(z_1\overline{z_2}) = \frac{1}{2}$$

**Étape 4 : Calculer $|z_1 - z_2|^2$**

De même : $|z_1 - z_2|^2 = 2 - 2\text{Re}(z_1\overline{z_2}) = 2 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 2 - 1 = 1$

**Étape 5 : Conclusion**

$$|z_1 - z_2| = \sqrt{1} = 1$$