Mathématiques au lycée Maroc — cours, exercices et examens en PDF

**Étape 1 : Simplifier la fraction**

Calculons $\frac{7-15i}{15+7i}$ en multipliant par le conjugué du dénominateur :

$$\frac{7-15i}{15+7i} = \frac{(7-15i)(15-7i)}{(15+7i)(15-7i)}$$

**Numérateur :** $(7-15i)(15-7i) = 105 - 49i - 225i + 105i^2 = 105 - 274i - 105 = -274i$

**Dénominateur :** $(15+7i)(15-7i) = 225 + 49 = 274$

Donc : $$\frac{7-15i}{15+7i} = \frac{-274i}{274} = -i$$

**Étape 2 : Calculer la puissance 2021**

Il suffit de trouver $(-i)^{2021}$.

Les puissances de $-i$ ont une période de 4 :
- $(-i)^1 = -i$
- $(-i)^2 = i^2 = -1$
- $(-i)^3 = -i \cdot (-1) = i$
- $(-i)^4 = 1$

**Étape 3 : Déterminer le reste**

$2021 = 4 \times 505 + 1$

Donc : $(-i)^{2021} = (-i)^1 = -i$