Mathématiques au lycée Maroc — cours en ligne, exercices corrigés et examens

**Étape 1 : Traduire les conditions**

Si $x$ et $y$ sont inverses l'un de l'autre : $xy = 1$, donc $y = \frac{1}{x}$.

**Étape 2 : Calculer $(x+y)^2 + x^2 + y^2$**

La condition est :
$$(x+y)^2 + x^2 + y^2 = 10$$

Développons $(x+y)^2$ :
$$(x+y)^2 + x^2 + y^2 = x^2 + 2xy + y^2 + x^2 + y^2 = 2x^2 + 2y^2 + 2xy$$

Donc : $2x^2 + 2y^2 + 2xy = 10$

Simplifions par 2 :
$$x^2 + y^2 + xy = 5$$

**Étape 3 : Utiliser $y = \frac{1}{x}$**

$$x^2 + \frac{1}{x^2} + x \cdot \frac{1}{x} = 5$$

$$x^2 + \frac{1}{x^2} + 1 = 5$$

$$x^2 + \frac{1}{x^2} = 4$$

**Étape 4 : Résoudre en posant $u = x^2$**

$$u + \frac{1}{u} = 4$$

Multiplions par $u$ :
$$u^2 + 1 = 4u$$

$$u^2 - 4u + 1 = 0$$

**Étape 5 : Appliquer la formule quadratique**

$$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$$

Donc $x^2 = 2 - \sqrt{3}$ ou $x^2 = 2 + \sqrt{3}$