Mathématiques au lycée Maroc — cours, exercices et examens en PDF

**Étape 1 :** Convertir $1+i$ en forme exponentielle.

$|1+i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$\arg(1+i) = \frac{\pi}{4}$ (car $1+i$ est dans le 1er quadrant avec $\tan\theta = 1$)

Donc : $1+i = \sqrt{2} e^{i\pi/4}$

**Étape 2 :** Calculer $(1+i)^{20}$.

$z = (1+i)^{20} = (\sqrt{2})^{20} \cdot e^{i \cdot 20\pi/4}$

$z = 2^{10} \cdot e^{i \cdot 5\pi}$

**Étape 3 :** Simplifier l'exponentielle.

$e^{i \cdot 5\pi} = \cos(5\pi) + i\sin(5\pi)$

Or $5\pi = 4\pi + \pi$, donc :
- $\cos(5\pi) = \cos(\pi) = -1$
- $\sin(5\pi) = \sin(\pi) = 0$

**Étape 4 :** Conclusion.

$z = 2^{10} \cdot (-1 + 0i) = -2^{10}$

La partie imaginaire de $z$ est **0**.