Mathématiques au lycée Maroc — cours, exercices et examens en PDF

On cherche $\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{2n}$.

**Étape 1 : Réécrire la base**
$$\frac{n-1}{n+1} = \frac{n+1-2}{n+1} = 1 - \frac{2}{n+1}$$

**Étape 2 : Appliquer la forme indéterminée $(1^{\infty})$**
$$\left(1 - \frac{2}{n+1}\right)^{2n} = \exp\left(2n \ln\left(1 - \frac{2}{n+1}\right)\right)$$

**Étape 3 : Développement asymptotique du logarithme**
Pour $u$ petit : $\ln(1-u) \approx -u$

$$\ln\left(1 - \frac{2}{n+1}\right) \sim -\frac{2}{n+1}$$

**Étape 4 : Calculer l'exposant**
$$2n \ln\left(1 - \frac{2}{n+1}\right) \sim 2n \cdot \left(-\frac{2}{n+1}\right) = -\frac{4n}{n+1}$$

**Étape 5 : Passer à la limite**
$$\lim_{n\to +\infty} -\frac{4n}{n+1} = \lim_{n\to +\infty} -\frac{4}{1+\frac{1}{n}} = -4$$

**Étape 6 : Conclusion**
$$\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{2n} = e^{-4}$$