Étude d'une fonction exercice corrigé

Rappels

1) Les branches infinies

Si $\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \pm \infty ;\;$, alors on cherche $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \dfrac{f(x)}{x}$ . Plusieurs cas se présentent:

$1^{er} \text{ cas: }\quad$ $\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \dfrac{f(x)}{x} = \pm \infty ;\; $ on dit que la courbe $(\mathcal{C}_f)$ admet une branche parabolique dans la direction de l'axe des ordonnées.
La courbe $(\mathcal{C}_f)$ prend l'une des $4$ formes suivantes:

$2^{eme} \text{ cas: }\quad$ $\displaystyle \lim_{x \to ± \infty} \dfrac{f(x)}{x} = 0 ;\; $ on dit que la courbe $(\mathcal{C}_f)$ admet une branche parabolique dans la direction de l'axe des abscisses.
La courbe $(\mathcal{C}_f)$ aura l'une des $4$ formes suivantes:

$3^{eme} \text{ cas: }\quad$ $\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \dfrac{f(x)}{x} = a\in \mathbb{R}^*. $ Dans ce cas on cherche $\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - ax).$

• -- Si $\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - ax) = b \in \mathbb{R}$, on dit que la courbe $(\mathcal{C}_f)$ admet une asymptote oblique d'équation $y=ax+b$ quand $x. \to \pm \infty .$
  La courbe $(\mathcal{C}_f)$ aura l'une des $4$ formes suivantes:

  

  
  
  
• -- Si $\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - ax) = \pm \infty $, on dit que la courbe $(\mathcal{C}_f)$ admet une branche parabolique dans la direction de la droite d'équation $y=ax.$
  La courbe $(\mathcal{C}_f)$ aura l'une des $4$ formes suivantes:

  

  
  
  

2) Continuité et dérivabilités des fonctions composées

Soit \begin{array}{ll} h: & \mathbb R \stackrel{f}{\longrightarrow} \mathbb R \stackrel{g}{\longrightarrow} \mathbb R \\ & x_0 \longmapsto f(x_0) \longmapsto g(f(x_0)) = (g \circ f)(x_0).\\ \end{array}

Théorème 1:

Si $f$ est continue en $x_0$ et $g$ continue en $y_0 = f(x_0)$ alors $h=g\circ f$ est continue en $x_0$.

Conséquences:

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$. Si $f$ est continue sur $I$ et $g$ est continue sur $f(I)$ alors $h=g\circ f$ est continue sur $I$.

Exemple :

La fonction \begin{array}{ll} h: & \mathbb R \stackrel{f}{\longrightarrow} \mathbb R \stackrel{g}{\longrightarrow} \mathbb R \\ & x \longmapsto x^2-4x+3 \longmapsto \sqrt{x^2-4x+3}.\\ \end{array} est continue. sur son. domaine de définition $D_h = ]-\infty , 1]\cup [3, +\infty[.$

Théorème 1:

Si $f$ est dérivable en $x_0$ et $g$ dérivable en $y_0 = f(x_0)$ alors $h=g\circ f$ est dérivable en $x_0$, et sa dérivée en $x_0$ est : $\; h^\prime (x_0) = (g\circ f)^\prime (x_0) = g^\prime (f(x_0))\times f^\prime (x_0).$

Conséquences:

Soit $I$ un intervalle ouvert de $\mathbb R$. Si $f$ est dérivable sur $I$ et $g$ est dérivable sur un. intervalle ouvert contenant $f(I)$ alors $h=g\circ f$ est dérivable sur $I$, et on a : $$\bbox[yellow,5px,border:1px solid red] {\; \forall x\in I,\; h^\prime (x) = (g\circ f)^\prime (x) = g^\prime (f(x))\times f^\prime (x).}$$

Exemple 1 :

Si $f$ est dérivable sur $I$ alors $\; \forall n\in \mathbb N ,\; f^n $ est dérivable sur $I$ et $$\bbox[yellow,5px,border:1px solid red] {(f^n)^\prime = nf^{n-1} f^\prime .}$$

Exemple 2 :

Si $f$ est dérivable sur $I$ et $f(x)\neq 0$ pour tout $x\in I$, alors: $\forall n\in \mathbb N,\; \dfrac{1}{f^n}$ est dérivable sur $I$ et $$\bbox[yellow,5px,border:1px solid red] {(\dfrac{1}{f^n})^\prime =\dfrac{ -nf^\prime}{f^{n+1}}.}$$

Exemple 3 :

Si $f$ est dérivable sur $I$ et $f(x)\gt 0$ pour tout. $x\in I$, alors $\sqrt{f}$ est dérivable sur $I$ et on a: $$\bbox[yellow,5px,border:1px solid red] {(\sqrt{f})^\prime : \dfrac{f^\prime}{2\sqrt{f}}.}$$ Par exemple, la fonction $h$ définie par $h(x) = \sqrt{x^2-4x+3}$ est continue sur son ensemble de définition $D_h = ]-\infty , 1]\cup [3, +\infty[.$, mais dérivable sur $]-\infty , 1[\cup ]3, +\infty[.$

3) Continuité et dérivabilité des fonctions réciproques

Théorème 1:

Soit $\; f:\;[a, b] \longmapsto \mathbb R$.
Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a, b]$ alors $f$ est une bijection de $[a, b]$ sur $[f(a), f(b)]$ , et sa fonction réciproque : $f^{-1}:\; [f(a), f(b)] \longmapsto [a, b]$ est continue et strictement monotone sur $[f(a), f(b)]$ et variant dans le même sens que $f$.
Et on a : \begin{array}{ccc} \begin{cases} y = f(x) \\[2ex] x\in [a, b] \end{cases} & \iff & \begin{cases} x = f^{-1}(y) \\[2ex] y\in [f(a), f(b)] \end{cases}\\ \end{array}

En plus: les courbes représentatives de $f$ et de $f^{-1}$ dans uun même repère orthonormé sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$.

Exemple 1 :

\begin{align} f:\; [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \longrightarrow \mathbb R ;\quad & f^{-1}:\; [-1, 1] \longrightarrow [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \\ x \longmapsto \sin x \quad & \quad x \longmapsto Arc \sin x.\\ \end{align}

Exemple 2 :

\begin{align} f:\; [0, \pi] \longrightarrow \mathbb R ;\quad & f^{-1}:\; [-1, 1] \longrightarrow [0, \pi] \\ x \longmapsto \cos x \quad & \quad x \longmapsto Arc \cos x.\\ \end{align}

Exemple 3 :

\begin{align} f:\; [0, +\infty] \longrightarrow \mathbb R ;\quad & f^{-1}:\; [0, +\infty] \longrightarrow [0, +\infty] \\ x \longmapsto x^2 \quad & \quad x \longmapsto \sqrt{x}.\\ \end{align}

Conséquences

-- Si $(\mathcal C_f)$ admet au point $A(x_0, y_0)$ une tangente parallèle à l'axe des ordonnées d'équation $x=a$ alors $(\mathcal C_{f^{-1}})$ admet au point $B(y_0, x_0)$ une tangente parallèle à l'axe des abscisses d'équation $y=a$.

-- Si $(\mathcal C_f)$ admet une asymptote parallèle à l'axe des ordonnées d'équation $x=a$ alors $(\mathcal C_{f^{-1}})$ admet une asymptote parallèle à l'axe des abscisses d'équation $y=a$.

-- Si $(\mathcal C_f)$ admet au point $A(x_0, y_0)$ une tangented'équation $y=ax+b$ alors $(\mathcal C_{f^{-1}})$ admet au point $B(y_0, x_0)$ une tangente d'équation $y=\dfrac{1}{a}x-\dfrac{b}{a}$.

-- Si $(\mathcal C_f)$ admet une point d'inflexion (ou un centre de symétrie ) $A(x_0, y_0)$ alors $(\mathcal C_{f^{-1}})$ admet une point d'inflexion (ou un centre de symétrie ) $B(y_0, x_0).$

Remarque:

Le théorème et sa conséquence sont encore vrais si on a $f:\; ]a, b[ \longrightarrow \mathbb R$ avec $a = -\infty$ et $b = +\infty$; il suffit de remplacer $[f(a), f(b)]$ par $]\displaystyle \lim_{\begin{matrix} x\to a \\ x\gt a \end{matrix}}f(x), \displaystyle \lim_{\begin{matrix} x\to b \\ x\lt b \end{matrix}}f(x)[.$

Théorème 2:

Soit $f:\; [a, b] \longrightarrow \mathbb R$ une fonction continue et strictement monotone sur $[a, b]$. Si $f$ dérivable en $x_0\in ]a,b[$ et $f^\prime (x_0) \neq 0$ alors sa fonction réciproque $f^{-1} $ est dérivable en $y_0 = f(x_0)\in ]f(a), f(b)[$ et on a $$\bbox[yellow,5px,border:1px solid red] {(f^{-1})^\prime (y_0) = \dfrac{1}{f^\prime (x_0)}.}$$

Conséquence:

Si $f$ dérivable sur $]a,b[$ et $f^\prime (x) \neq 0$ pour tout $x\in ]a, b[$,alors sa fonction réciproque $f^{-1} $ est dérivable sur $ ]f(a), f(b)[$ et on a : $$\bbox[yellow,5px,border:1px solid red] {\forall x\in ]f(a), f(b)[,\; (f^{-1})^\prime (x) = \dfrac{1}{f^\prime (y)} \; \text{ avec } y=f^{-1}(x).}$$

4)Relation entre continuité et dérivabilité

-- $f$ est dérivable en $x_0$ $\; \implies \; $ $f$ est continue en $x_0$.
$\quad$ La réciproque est fausse c-à-d:
$\quad$ $f$ est continue en $x_0$ $\; \cancel{\implies} \;$ $f$ est dérivable en $x_0$.
$\quad$ Par contre: $f$ non continue en $x_0$ $\; \implies \; $ $f$ non dérivable. en $x_0$.

PROBLÉME 1

Soit $f$ une fonction définie par : $f(x) = x - \sqrt{4-x^2}$ \begin{align} 1) & \text{ Déterminer l'ensemble de définition de $f$ , $D_f$.}\\ 2) & \text{ Calculer la dérivée de $f$ puis étudier son signe.}\\ 3) & \text{ Etudier la dérivabilité de $f$ en $-2$ et en $2$, puis interpreter géométriquement le résultat.}\\ 4) & \text{ Dresser le tableau de variations de $f$ .}\\ 5) & \; a) \text{ Résoudre l'équation $f(x)=0$, puis conclure.}\\ & \; b) \text{Calculer $f^\prime (0),$ puis conclure.}\\ & \; c) \text{Construire la courbe $(\mathcal C_f)$ dans un repère orthonormé.} \end{align}

Solutions

\begin{align} 1) & \text{ $D_f = [-2,2].$ }\\ 2) & \text{ $f$ est dérivable sur $]-2, 2[$. $\forall x\in ]-2, 2[, \; f^\prime (x) = 1+ \dfrac{x}{\sqrt{4-x^2}}.$}\\ & \text{ Si $x\in [0, 2[$ alors $f^\prime (x) \gt 0.$}\\ & \text{ Si $x\in ]-2,0]$, alors $f^\prime (x) = \dfrac{\sqrt{4-x^2}+x}{\sqrt{4-x^2}}\; $ son signe est celui de $\sqrt{4-x^2}+x = \dfrac{2(2-x^2)}{\sqrt{4-x^2}-x}$}\\ &\text{ On sait que $\forall x\in ]-2,0[:\; \sqrt{4-x^2}-x \gt 0.$ Donc si $x\in ]-2,0[$ alors le signe de $f^\prime (x)$ est celui de $2-x^2$.}\\ &\text{ D'où : le tableau de signe suivant : pour $x\in ]-2,0[$}\\[2ex] & \quad \begin{array}{c|ccc} x & -2 & -\sqrt{2} & 0 \\ \hline f^\prime(x) & - & 0 & +\\ \end{array}\\[2ex] &\text{ Conclusion: ( pour $x\in ]-2,2[$) }\\[2ex] & \quad \begin{array}{c|ccc} x & -2 & -\sqrt{2} & 2 \\ \hline f^\prime(x) & - & 0 & +\\ \end{array}\\[2ex] 3) & \\ & \begin{array}{ll} \displaystyle \lim_{x \to -2^+} \dfrac{f(x)-f(-2)}{x+2} & = \displaystyle \lim_{x \to -2^+} \dfrac{x-\sqrt{4-x^2}+2}{x+2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to -2^+} \left( \dfrac{x+2}{x+2} - \dfrac{\sqrt{4-x^2}}{x+2}\right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to -2^+} \left(1 - \dfrac{4-x^2}{(x+2)\sqrt{4-x^2}}\right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to -2^+} \left(1 - \dfrac{2-x}{\sqrt{4-x^2}}\right) \\ & = -\infty \end{array}\\ & \text{Donc $f$ n'est pas dérivable à droite en $-2$, mais sa courbe $(\mathcal C_f)$ }\\ & \text{ admet à droite du point $A(-2,-2)$ une demi tangente parallèle à l'axe des ordonnées.}\\ & \text{De même on a:}\\ & \begin{array}{ll} \displaystyle \lim_{x \to 2^-} \dfrac{f(x)-f(2)}{x-2} & = \displaystyle \lim_{x \to 2^-} \dfrac{x-\sqrt{4-x^2}-2}{x-2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2^-} \left( \dfrac{x-2}{x-2} - \dfrac{\sqrt{4-x^2}}{x-2}\right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2^-} \left(1 - \dfrac{4-x^2}{(x-2)\sqrt{4-x^2}}\right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2^-} \left(1 + \dfrac{2+x}{\sqrt{4-x^2}}\right) \\ & = +\infty \end{array}\\ & \text{Donc $f$ n'est pas dérivable à gauche en $2$, mais sa courbe $(\mathcal C_f)$}\\ & \text{admet à gauche du point $B(2,2)$ une demi tangente parallèle à l'axe des ordonnées.}\\ 4) & \\ & \quad \begin{array}{c|ccccc} x & -2 & & -\sqrt{2} & & 2 \\ \hline f^\prime(x) & - & & 0 & & +\\ \hline & -2 & & & & 2 \\ f(x) & & \searrow & & \nearrow & \\ & & & -2\sqrt{2} & & \\ \end{array}\\[2ex] 5) & \; a) \\ & \begin{array}{lclcl} f(x) = 0 & \iff & \sqrt{4-x^2} = x & \iff & \begin{cases} x\in [-2, 2] \\ x\geq 0 \\ 4-x^2 = x^2 \end{cases}\\ & \iff & \begin{cases} x\in [0, 2] \\ x^2 = 2 \end{cases} &\implies & x=\sqrt{2}. \\ \end{array}\\ & \text{ Conclusion: la courbe $(\mathcal C_f)$ coupe l'axe des abscisses en un seul point $E(\sqrt{2}, 0).$}\\ & \; b) \text{ $f^\prime(0) = 1\;$ ; donc la courbe $(\mathcal C_f)$ admet au point $D(0, -2)$}\\ &\quad \text{ une tangente de pente $1\;$ (cette tangente est parallèle au $1^{er}$ bissectrice).} \\[2ex] & \; c) \text{ La courbe $(\mathcal C_f)$ est la suivante:}\\ \end{align}