Fonction définie par morceaux exercice corrigé

Énoncé et corrigé des exercices

PROBLÉME 1

Soit $f$ une fonction définie par : $f(x) = \begin{cases} f_1(x) = & \dfrac{x}{x^2+1} -x \;\text{ pour }\; x\in ]-\infty, 0] \\[2ex] f_2(x) = & \sqrt{x^2+2x} + x \;\text{ pour }\; x\in ]0, +\infty[ \end{cases} $ \begin{align} 1) & \text{ $f$ est-elle continue en $x_0=0$ ?}\\[2ex] 2) & \; a) \text{ Calculer la dérivée $f^\prime (x)$.}\\[2ex] & \; b) \text{ $f$ est-elle dérivable en $x_0=0$ ?}\\[2ex] 3) & \text{ Étudier les variations de $f$.}\\[2ex] 4) & \text{ Étudier les branches infinies de $(\mathcal C_f)$.}\\[2ex] 5) & \text{ Préciser la position de $(\mathcal C_f)$ par rapport à ses asymptotes.}\\[2ex] 6) & \text{ Étudier les points d'inflexion et la concavité de $(\mathcal C_f)$.}\\[2ex] 7) & \text{ Pour $x\in ]-\infty, 0],$ déterminer le point où $(\mathcal C_f)$ admet une tangente de coefficient directeur $-1$}\\[2ex] 8) & \text{ Construire $(\mathcal C_f)$ dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.}\\[2ex] 9) & \text{ Montrer que $f_1$ admet une fonction réciproque $f^{-1}_1$.}\\[2ex] & \text{ Construire $(\mathcal C_{f_1})$ et $(\mathcal C_{f^{-1}_1})$ dans un même repère. orthonormé et préciser le point d'inflexion de $(\mathcal C_{f^{-1}_1})$ ainsi que son asymptote. }\\[2ex] & \text{ Calculer enfin le nombre dérivé de $f^{-1}$ en \frac{1}{2} c'est à dire $(f^{-1})^\prime (\frac{1}{2})$. }\\[2ex] 10) & \text{ Montrer que $f_2$ admet une fonction réciproque $f^{-1}_2$.}\\[3ex] & \text{ Déterminer l'expression de $f^{-1}_2 (x)$.}\\[3ex] \end{align}

Solutions

\begin{align} 1) & \text{ $f_1$ est définie sur $\mathbb R$ et en particulier sur $D_1 = ]-\infty, 0]$}\\ & \text{ $f_2$ est définie sur $\mathbb R$ et en particulier sur $D_2 = ]0, +\infty[$}\\ & \text{ Donc $D_f = D_1\cup D_2 =\mathbb R .$}\\ & \text{ $f_1$ est continue en $x_0 = 0$ ; donc $f$ est continue à gauche en $x_0=0$ et $f(0) = f_1(0) = 0$. }\\ & \text{ En plus : $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x) = \displaystyle \lim_{x \to 0^+} f_2(x) = \displaystyle \lim_{x \to 0^+} (\sqrt{x^2+2x}+x) = 0 = f(0).\;$. }\\ & \text{D'où $f$ est continue aussi à droite en $x_0 = 0.$ }\\ & \text{Conclusionn: $\;f$ est continue en $x_0 = 0.$ }\\[4ex] 2) & \; a) \text{ $f_1$ est dérivable sur $\mathbb R$ et en particulier sur $]-\infty, 0]$.}\\ & \quad \text{ $f_2$ est dérivable sur $]-\infty, -2[\cup ]0, +\infty[$}\\ & \quad \text{ Donc : $f^\prime (x) = \begin{cases} f^\prime _1(x) = & \dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2} -1 \;\text{ pour }\; x\in ]-\infty, 0] \\[2ex] f^\prime _2(x) = & \dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+2x}} + 1 \;\text{ pour }\; x\in ]0, +\infty[. \end{cases}$ }\\ & \; b) \text{ Par suite $f$ est dérivable à gauche en $x_0=0$ et on a $f^\prime _g (0) = f^\prime _1 (0) = 1-1 = 0$}\\ & \; \quad \text{ D'autre part on a :}\\ & \; \quad \text{ $\displaystyle \lim_{x \to 0^+}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} = \displaystyle \lim_{x \to 0^+}\dfrac{\sqrt{x^2+2x}}{x} + 1= \displaystyle \lim_{x \to 0^+}\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1=+\infty .$}\\ & \; \quad \text{ Donc $f$ n'est pas dérivable à gauche en $x_0=0$, mais sa courbe $(\mathcal C_f)$}\\ & \; \quad \text{ admet au point $A(0, 0)$ une demi tangente à droite parallèle à l'axe des ordonnées.}\\[4ex] 3) & \text{ On a $:\; \displaystyle \lim_{x \to -\infty }f(x) =\lim_{x \to -\infty }f_1(x) = 0 - (-\infty) = -\infty. $}\\ & \text{ $\displaystyle \lim_{x \to -\infty }f(x) =\lim_{x \to -\infty }f_2(x) = +\infty. $}\\ & \text{ Signe de $f^\prime (x):\; \forall x\in ]0, +\infty [\; :\; f^\prime _2 (x) \gt 0.\;$}\\ & \text{ De même on a : $\;\forall x\in ]-\infty, 0[\; :\; f^\prime _1 (x) = \dfrac{1-x^2-(x^2+1)^2}{(x^2+1)^2} = \dfrac{-x^4-3x^2}{(x^2+1)^2} \lt 0 .$ }\\ & \text{ D'où :}\\ & \quad \begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & 0 & & +\infty \\ \hline f^\prime(x) & & - & \parallel &+& \\ \hline & +\infty & & & & +\infty \\ f(x) & & \searrow & & \nearrow & \\ & & & 0 & & \\ \end{array}\\[4ex] 4) & \text{ $\displaystyle \lim_{x \to -\infty }f(x) = +\infty ;\; $en plus : $\displaystyle \lim_{x \to -\infty }\dfrac{f(x)}{x} = \displaystyle \lim_{x \to -\infty }\dfrac{f_1(x)}{x} = \displaystyle \lim_{x \to -\infty }\dfrac{1}{x^2+1}-1 = -1;$} \\ & \text{ enfin: $\displaystyle \lim_{x \to -\infty }\left[f(x) + x \right] = \displaystyle \lim_{x \to -\infty }\left[f_1(x) + x \right] = \displaystyle \lim_{x \to -\infty }\dfrac{x}{x^2+1} = \displaystyle \lim_{x \to -\infty }\dfrac{1}{x+{1\over x}} = 0.$ }\\ & \text{ Donc: la droite d'équation $y = -x$ est une asymptote à $(\mathcal C_f)$ quand $x \to -\infty .$ }\\ & \text{ }\\[4ex] & \text{ De même :$\; \displaystyle \lim_{x \to +\infty }f(x) = +\infty ;\; $en plus : $\displaystyle \lim_{x \to +\infty }\dfrac{f(x)}{x} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty }\dfrac{f_2(x)}{x} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty }\left(\dfrac{\sqrt{x^2+2x}}{x}+1\right) = \displaystyle \lim_{x \to +\infty }\left(\sqrt{1+{2\over x}}+1\right) = 2;$} \\ & \text{ enfin: $\displaystyle \lim_{x \to +\infty }\left[f(x) -2x \right] = \displaystyle \lim_{x \to +\infty }\left(\sqrt{x^2+2x}-x\right) = \displaystyle \lim_{x \to +\infty }\dfrac{x^2+2x-x^2}{\sqrt{x^2+2x}+x} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty }\dfrac{2}{\sqrt{1+{2\over x}}+1} = 1.$ }\\ & \text{ Donc: la droite d'équation $y = 2x+1$ est une asymptote à $(\mathcal C_f)$ quand $x \to +\infty .$ }\\[4ex] 5) & \text{ Pour $x$ tendent vers $-\infty$ , $(\mathcal C_f)$ admet une asymptote d'équation $y=-x$. En plus on a :}\\ & \text{ $\; \forall x\in ]-\infty , 0[ :\; f(x) + x = \dfrac{x}{x^2+1} \lt 0 \;$ car $x\lt 0 .$}\\ & \text{ Donc : sur $]-\infty , 0[$, $(\mathcal C_f)$ est au dessous de son asymptote $y=-x.$}\\[4ex] & \text{ De même pour $x$ tendent vers $+\infty$ , $(\mathcal C_f)$ admet une asymptote d'équation $y=2x+1$. En plus on a :}\\ & \text{ $\; \forall x\in ]0, +\infty[,:\; f(x) -(2x+1) = \sqrt{x^2+2x}-(x+1) = \dfrac{x^2+2x-(x+1)^2}{\sqrt{x^2+2x}=(x+1)} = \dfrac{-1}{\sqrt{x^2+2x}=(x+1)}\lt 0 \;$ car $x\gt 0 .$}\\ & \text{ Donc : sur $]0, +\infty[$, $(\mathcal C_f)$ est encore au dessous de son asymptote $y=2x+1.$}\\ 6) & \text{ $f^{\prime\prime} (x) = \begin{cases} f^{\prime\prime }_1 (x) = & \dfrac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3} \;\text{ pour }\; x\in ]-\infty, 0] \\[2ex] f^{\prime\prime }_2 (x) = & \dfrac{-1}{(x^2+2x)\sqrt{x^2+2x}} \;\text{ pour }\; x\in ]0, +\infty[. \end{cases}$ }\\ & \text{ $\forall x\in ]0, +\infty[:\; f^{\prime\prime }_1 (x) \lt 0.$ }\\ & \text{ Le signe de $f^{\prime\prime }_1(x) $ est: }\\ & \quad \begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & -\sqrt{3} & & 0 \\ \hline x & & - & \rvert &-& \\ \hline x^2-3 & & + & 0 & - & \\ \hline f^{\prime\prime }_1 (x) & & - & 0 & + & \\ \end{array}\\[4ex] & \text{ D'où : }\\ & \quad \begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & -\sqrt{3} & & 0 & +\infty \\ \hline f^{\prime\prime } (x) & - & 0 & +& \parallel & - \\ \end{array}\\[4ex] & \text{ Par suite: $f^{\prime\prime } (x)$ s'annule en changeant le signe seulement en un seul }\\ & \text{ point d'inflexion $I\left(-\sqrt{3}, {3\sqrt{3}\over 4}\right),\;$ $(\;f(-\sqrt{3}) = {3\sqrt{3}\over 4} \simeq 1,3.\; )$ }\\ & \text{ En plus : sur $]-\infty, -\sqrt{3}[\cup [0, +\infty[, $ la concavité de $(\mathcal C_f) $ est tournée vers les $y$ négatifs.}\\ & \text{ Et sur $]-\sqrt{3}, 0] $ la concavité de $(\mathcal C_f) $ est tournée vers les $y$ positifs.}\\[4ex] 7) & \text{ Pour $x\in ]-\infty, 0]$ on a:}\\ & \text{ $f^\prime (x) = -1\; \iff \; f^\prime _1 (x) = -1 \; \iff \; {1-x^2 \over (x^2+1)^2} = 0 \; \iff \; x = -1\;$ (car $x\leq 0$.)}\\ & \text{ Donc : sur $]-\infty, 0], (\mathcal C_f)$ admet une tangente de coefficient directeur $-1$ au point $B(-1, f(-1))$ c--à-d $B\left(-1, {1\over 2}\right)$. }\\[4ex] 8) & \text{ La courbe $(\mathcal C_f)$ est la suivante: }\\[4ex] \end{align}

\begin{align} 9) & \text{ D'après le tableau de variation de $f$ on a: }\\[4ex] & \quad \begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & & & 0 \\ \hline & +\infty & & & & \\ f_1(x) & & \searrow & & & \\ & & & & & 0 \\ \end{array}\\[4ex] & \text{ Donc: $f_1$ est continue et strictement décroissante sur $]-\infty , 0].$ }\\[4ex] & \text{ Par conséquent: $f_1$ est une bijection de $]-\infty , 0]$ vers $[0, +\infty[.$ }\\[4ex] & \text{ Sa réciproque $f^{-1}_1\; :\; [0, +\infty [ \to ]-\infty , 0]$ est aussi continue et strictement décroissante.}\\[4ex] & \text{ La courbe représentative $(\mathcal C_{f^{-1}_1})$ de $f^{-1}_1$ se déduit de $(\mathcal C_f)$ dans une symétrie orthogonale par rapport à la droite d'équation $y=x$ }\\[4ex] \end{align}

\begin{align} & \text{ $(f^{-1}_1)^\prime ({1\over 2}) = {1 \over f^\prime _1(y)}$ avec $y = (f^{-1}_1)({1\over 2})$}\\[4ex] & \text{ Or $y = (f^{-1}_1)({1\over 2}) \iff \begin{cases} {1\over 2} = f_1(y) \\[2ex] y \in ]-\infty , 0] \end{cases} \iff y = -1 $ car $f(-1) = {1\over 2}$}\\[4ex] & \text{ Donc $(f^{-1}_1)^\prime ({1\over 2}) = {1 \over f^\prime _1(-1)} = {1-1 \over (1+1)^2} - 1 = -1$}\\[4ex] 10) & \text{ D'après le tableau de variation de $f$ on a: }\\[4ex] & \quad \begin{array}{c|ccccc} x & 0 & & & & +\infty \\ \hline & & & & & +\infty\\ f_2(x) & & \nearrow & & & \\ & 0 & & & & \\ \end{array}\\[4ex] & \text{ Donc: $f_2$ est continue et strictement croissante sur $[0, +\infty[.$ }\\[4ex] & \text{ Par suite: $f_2$ admet une fonction réciproque $f^{-1}_2 \;:\; [0, +\infty[ \to[0, +\infty[.$ qu'est aussi continue et strictement croissante.}\\[4ex] &\text{Et on a :}\\[4ex] &\text{$\begin{cases} y = f^{-1}_2(x) \\[2ex] x \in [0 , +\infty[ \end{cases} \iff \begin{cases} x = f_2(y) = \sqrt{y^2+2y}+y \\[2ex] y \in [0 , +\infty[ \end{cases}$ }\\[4ex] &\text{ Pour $x \in [0 , +\infty[ $ et $y \in [0 , +\infty[$ on a: }\\[4ex] &\text{ $x = \sqrt{y^2+2y}+y \iff \sqrt{y^2+2y} = y-x \iff \begin{cases} y^2+2y = (x-y)^2 \\[2ex] x\geq y \end{cases} \iff \begin{cases} y = {x^2 \over 2(x+1)} \\[2ex] x\geq y \end{cases}$ } \\[4ex] &\text{Mais l'inégalité $x\geq y$ est bien vérifiée car $x\geq 0, y\geq 0$ et $x = \sqrt{y^2+2y}+y$}\\[4ex] &\text{ Conclusion : $\forall x\in [0, +\infty[,\; f^{-1}_2(x) = {x^2 \over 2(x+1)}.$ }\\[4ex] \end{align}