Fonctions Exponentielles - Cours 2 Bac PC

I. Fonction exponentielle népérienne

1. Définition et propriétés

Définition

On appelle fonction exponentielle népérienne, notée \( \exp \), la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien \( \ln \) et on a :
\[ (\forall x \in \mathbb{R})(\forall y \in\; ]0;+\infty[)\;;\quad \exp(x) = y \iff x = \ln(y) \]

Notation \( e^x \)

Soit \( r \) un rationnel. On a : \( \ln(\exp(r)) = r \) et on sait que \( \ln(e^r) = r\ln(e) = r \).

Donc \( (\forall r \in \mathbb{Q}) : \ln(\exp(r)) = \ln(e^r) \).

On prolonge cette relation de l'ensemble \( \mathbb{Q} \) sur l'ensemble \( \mathbb{R} \), on aura :

\[ (\forall x \in \mathbb{R}) :\quad \exp(x) = e^x \]

Propriétés

• La fonction \( \exp \) est continue et strictement croissante sur \( \mathbb{R} \).
• \( (\forall x \in \mathbb{R}) : e^x > 0 \).
• \( (\forall x \in\; ]0;+\infty[)(\forall y \in \mathbb{R}) : e^y = x \iff \ln(x) = y \).
• \( (\forall x \in \mathbb{R}) : \ln(e^x) = x \)  et  \( (\forall x \in\; ]0;+\infty[) : e^{\ln(x)} = x \).
• \( (\forall a \in \mathbb{R})(\forall b \in \mathbb{R}) : e^a > e^b \Rightarrow a > b \).
• \( (\forall a \in \mathbb{R})(\forall b \in \mathbb{R}) : e^a = e^b \Rightarrow a = b \).

Application ①

On considère la fonction \( f \) définie par : \( f(x) = \dfrac{3e^x}{2e^x + 4} \).

1. Déterminer \( D_f \) puis montrer que \( f \) est continue sur \( D_f \).

2. Calculer \( f(0) \) et \( f(\ln 2) \).

Application ②

Résoudre dans \( \mathbb{R} \) :

a. \( e^{1-x} = e^{x - x^2} \)

b. \( e^{x^2 - x} = 1 \)

c. \( (e^x)^2 - 3e^x + 2 = 0 \)

d. \( (e^x)^2 - 3e^x + 2 < 0 \)

e. \( (e^x + 2)(e^{-x+1} - 4) \geq 0 \)

f. \( \dfrac{e^{x+1}}{e^{-x} - e} \leq 0 \)

Propriétés

Soient \( a \) et \( b \) deux réels et \( r \in \mathbb{Q} \), on a :

• \( e^{x+y} = e^x \cdot e^y \)   • \( e^{x-y} = \dfrac{e^x}{e^y} \)   • \( e^{-x} = \dfrac{1}{e^x} \)   • \( (e^x)^r = e^{rx} \)

Application ③

1. Simplifier les expressions suivantes :

• \( A = \dfrac{e^{2x} \times e^{3x}}{(e^x)^4} \)   • \( B = (e^{2-x})^2 \times e^{3x-4} \)   • \( C = e^{2x}\!\left((e^x + e^{-x})^2 + (e^x - e^{-x})^2\right) \)

2. Montrer que : \( (\forall x \in \mathbb{R}) : \dfrac{e^x - 1}{e^x + 1} = \dfrac{1 - e^{-x}}{1 + e^{-x}} \)

Exercice ①

1. Résoudre dans \( \mathbb{R} \) :

a. \( e^x + 6e^{-x} - 5 = 0 \)

b. \( (e^x)^{15} \times e^{x^2+5} = \dfrac{e^{5x}}{e^4} \)

c. \( \dfrac{e^{2x+1}}{e^{x-3}} > e^{-x+2} \)

2. Résoudre dans \( \mathbb{R}^2 \) le système :

\[ \begin{cases} 5e^{2x+1} + 3e^{-y} = 3 \\ 7e^{2x+1} - 4e^{-y} = 2 \end{cases} \]

2. Limites usuelles

Propriétés

• \( \displaystyle\lim_{x\to +\infty} e^x = +\infty \)   • \( \displaystyle\lim_{x\to -\infty} e^x = 0 \)   • \( \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x - 1}{x} = 1 \)

• \( \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{e^x}{x} = +\infty \)   • \( \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{e^x}{x^n} = +\infty \quad (n \in \mathbb{N}^*) \)

• \( \displaystyle\lim_{x\to -\infty} x\,e^x = 0 \)   • \( \displaystyle\lim_{x\to -\infty} x^n\,e^x = 0 \quad (n \in \mathbb{N}^*) \)

Exemple

Calculons \( \displaystyle\lim_{x\to +\infty}(e^x - x) \).

On a \( \displaystyle\lim_{x\to +\infty}(e^x - x) = \lim_{x\to +\infty} x\!\left(\frac{e^x}{x} - 1\right) = +\infty \) car \( \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{e^x}{x} = +\infty \).

Application ④

Calculer les limites suivantes :

❶ \( \displaystyle\lim_{x\to +\infty}(e^x - \sqrt{x}) \)   ❷ \( \displaystyle\lim_{x\to +\infty}(2x-1)e^{-x} \)   ❸ \( \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\sqrt{x}\,e^{-x} \)

❹ \( \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{e^{\frac{x+4}{x}}}{1} \)   ❺ \( \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{e^{x^2}}{x^3 + x + 1} \)

❻ \( \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{2x}-1}{x} \)   ❼ \( \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{2x}-1}{e^{3x}-1} \)   ❽ \( \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{e^x - 1}{e^x + 1} \)

❾ \( \displaystyle\lim_{x\to -\infty} 2x\,e^{3x} \)   ❿ \( \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{e^{x^3+3x}}{x^3 - 1} \)

3. Dérivée de la fonction exponentielle népérienne

On pose \( (\forall x \in\; ]0,+\infty[)\; f(x) = \ln(x) \), donc \( (\forall x \in \mathbb{R})\; f^{-1}(x) = e^x \).

Et on sait que \( (\forall x \in \mathbb{R}) : (f^{-1})'(x) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))} \), d'où \( (\forall x \in \mathbb{R}) : (e^x)' = \dfrac{1}{\frac{1}{e^x}} = e^x \).

Propriété

La fonction \( x \mapsto e^x \) est dérivable sur \( \mathbb{R} \) et on a : \( (\forall x \in \mathbb{R}) : (e^x)' = e^x \).

Application ⑤

On considère la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = x - \dfrac{e^x - 1}{e^x + 1} \), et soit \( (\mathcal{C}_f) \) sa représentation graphique sur le repère \( (O,\vec{i},\vec{j}) \).

1. Montrer que \( (\forall x \in \mathbb{R}) : f(x) = x + 1 - \dfrac{2e^x}{e^x + 1} \) et déduire \( \displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x) \).

2. Montrer que \( (\forall x \in \mathbb{R}) : f(x) = x - 1 - \dfrac{2}{e^x + 1} \) et déduire \( \displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x) \).

3. Étudier les branches infinies de \( (\mathcal{C}_f) \) au voisinage de \( +\infty \) et \( -\infty \).

4. Montrer que \( f \) est impaire.

5. Montrer que \( f \) est dérivable sur \( \mathbb{R} \) et déterminer sa dérivée.

6. Donner le tableau des variations de \( f \).

7. Tracer \( (\mathcal{C}_f) \).

Propriété

Si \( u \) est une fonction dérivable sur \( I \), alors la fonction \( x \mapsto e^{u(x)} \) est dérivable sur \( I \) et on a :
\[ (\forall x \in I) : \left(e^{u(x)}\right)' = u'(x)\,e^{u(x)} \]

Application ⑥

Déterminer \( f' \) dans les cas suivants :

❶ \( f(x) = e^{x^2+3x} \)   ❷ \( f(x) = e^{x - 2\ln(x+1)} \)   ❸ \( f(x) = (e^{2x} - e^{-x})^2 \)   ❹ \( f(x) = e^{\sqrt[3]{x}} \)

Corollaire

Soit \( u \) une fonction dérivable sur \( I \).
Les primitives de la fonction \( x \mapsto u'(x)\,e^{u(x)} \) sur \( I \) sont les fonctions \( x \mapsto e^{u(x)} + c \) tel que \( c \in \mathbb{R} \).

Application ⑦

Déterminer l'ensemble des primitives de \( f \) dans les cas suivants :

❶ \( f(x) = 2e^{2x} - e^{-x} \)   ❷ \( f(x) = e^{5x+4} \)

❸ \( f(x) = (x^2 + 1)\,e^{x^3+3x} \)   ❹ \( f(x) = \dfrac{2x+1}{e^{x^2+x+1}} \)

II. Fonction exponentielle de base \( a \)   \( (a \neq 1 ;\; a > 0) \)

Définition

Soit \( a \) un réel strictement positif et différent de 1.
La fonction réciproque de \( x \mapsto \log_a(x) \) est appelée fonction exponentielle de base \( a \) qui est définie sur \( \mathbb{R} \) et notée par \( \exp_a(x) \) ou \( a^x \).

Soient \( x \in \mathbb{R} \) et \( y \in \mathbb{R}_+^* \), on a :

\[ a^x = y \iff x = \log_a(y) \iff x = \frac{\ln(y)}{\ln(a)} \iff x\ln(a) = \ln(y) \iff e^{x\ln(a)} = y \]

D'où :

\[ \boxed{a^x = e^{x\ln(a)}} \]

Exemples

• \( 2^x = e^{x\ln 2} \)   • \( 4^{\sqrt{2}} = e^{\sqrt{2}\ln 4} = e^{2\sqrt{2}\ln 2} \)   • \( \sqrt{3}^{\,x} = e^{x\ln\sqrt{3}} = e^{\frac{x}{2}\ln 3} \)

Remarque

\( (\forall x \in \mathbb{R}) : 1^x = 1 \).

Propriétés

Soient \( x \) et \( y \) deux réels et \( r \in \mathbb{Q} \), on a :

• \( a^{x+y} = a^x \cdot a^y \)   • \( a^{-x} = \dfrac{1}{a^x} \)   • \( a^{x-y} = \dfrac{a^x}{a^y} \)   • \( a^{rx} = (a^x)^r \)

Application ⑧

Montrer que : \( \dfrac{9^{\frac{2}{\ln 3}} \times 8^{\frac{3}{\ln 4}}}{25^{\frac{4}{\ln 5}}} = \sqrt{e} \)

Exercice ②

1. Résoudre dans \( \mathbb{R} \) :

a. \( \left(\dfrac{1}{2}\right)^x \leq \dfrac{1}{4} \)   b. \( 3^x > 9^x \)   c. \( 10^{2x} + 2 \times 10^x - 3 > 0 \)

2. Calculer la dérivée des fonctions \( f \) et \( g \) telles que \( f(x) = 2^{x^2+2x+2} \) et \( g(x) = x^x \).

3. Calculer les limites suivantes :

a. \( \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\dfrac{1}{3}\right)^x \)   b. \( \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{4^x - 2^x}{3^x} \)   c. \( \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{4^x - 2^x}{x} \)   d. \( \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x \)

Exercice ③

I. On considère la fonction \( g \) définie sur \( \mathbb{R} \) par : \( g(x) = e^{2x} - 2x \).

1. Déterminer \( g'(x) \) pour tout \( x \) de \( \mathbb{R} \) puis donner le tableau des variations de \( g \).

2. En déduire que pour tout \( x \) de \( \mathbb{R} \), \( g(x) > 0 \).

II. Soit la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par : \( f(x) = \ln(e^{2x} - 2x) \) et soit \( (\mathcal{C}_f) \) sa représentation graphique sur le repère \( (O,\vec{i},\vec{j}) \).

1. a. Montrer que \( \displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x) = +\infty \).

    b. Vérifier que : \( \dfrac{f(x)}{x} = \left(\dfrac{e^{2x}}{x} - 2\right)\dfrac{\ln(e^{2x} - 2x)}{e^{2x} - 2x} \).

    c. Montrer que \( \displaystyle\lim_{x\to -\infty}\dfrac{f(x)}{x} = 0 \) puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.

2. a. Vérifier que \( (\forall x \geq 0) : 1 - \dfrac{2x}{e^{2x}} > 0 \) et que \( 2x + \ln\!\left(1 - \dfrac{2x}{e^{2x}}\right) = f(x) \).

    b. En déduire que \( \displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty \).

    c. Montrer que la droite d'équation \( (D) : y = 2x \) est une asymptote oblique de \( (\mathcal{C}_f) \) au voisinage de \( +\infty \).

    d. Montrer que \( (\forall x \geq 0) : f(x) - 2x \leq 0 \) puis déduire la position relative de \( (\mathcal{C}_f) \) et \( (D) \) sur \( [0,+\infty[ \).

3. a. Montrer que \( (\forall x \in \mathbb{R}) : f'(x) = \dfrac{2(e^{2x} - 1)}{g(x)} \).

    b. Donner le tableau des variations de \( f \).

4. Tracer \( (\mathcal{C}_f) \) et \( (D) \) sur le repère \( (O,\vec{i},\vec{j}) \).