Les nombres complexes

Rappels et remarques

Avant de faire les exercices, il faut d'abord bien lire et bien comprendre les rappels et les remarques suivantes:

1) Forme algébrique

La forme algébrique d'un nombre complexe est $z=a+ib$ avec $a\in \mathbb{R}$ et $b \in \mathbb{R}$.
Si $z=\alpha + i\beta$ avec $\alpha \notin \mathbb{R}$ et $ \beta \notin \mathbb{R}$. alors $z=\alpha + i\beta$ n'est pas une forme algébrique de $z$.

Conséquence:

Si $z=a+ib$ avec $a\in \mathbb{R}$ et $b \in \mathbb{R}$ alors le conjugué de $z$ noté $\bar{z}$ est $\bar{z} = a-ib$. Mais si $z=\alpha + i\beta$ avec $\alpha \notin \mathbb{R}$ et $ \beta \notin \mathbb{R}$. alors $\bar{z}=\bar{\alpha} - i\bar{\beta}$ avec \begin{cases} \bar{\alpha} = & \text{le conjugué de} \alpha \\ \bar{\beta} = & \text{le conjugué de} \beta \end{cases}.

Remarques:

• $ \mathbb{R} \subset \mathbb{C}, $ et $\forall a \in \mathbb{R}:\; \bar{a}=a$.
• Pour tout réel $a$, le module de $a$ est la valeur absolue de $a$ . Par exemple : $\overline{(-12)} = -12$ et $\lvert -17 \rvert = 17 .$
• Soient, $a$, $b , c$ et $d$ des nombres réels avec $c\neq 0$ ou $d\neq 0$. Pour trouver la forme algébrique de $z=\dfrac{a+ib}{c+id}$ on écrit: $$z = \dfrac{(a+ib)(c-id)}{c^2+d^2} = \dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+i\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}$$ Par exemple: $z = \dfrac{\sqrt{3}+i}{1-i} = \dfrac{(\sqrt{3}+i)(1+i)}{2} = \dfrac{\sqrt{3}-1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}$

2) Argument

Soit $z\in \mathbb{C}$ et $M(x,y)$ l'image de $z$ dans le plan complexe. Donc : $z = x+iy$ avec $x\in \mathbb{R}$ et $y \in \mathbb{R}$ .

On appelle argument de $z$, l'angle $(\overrightarrow{OX},\overrightarrow{OM}) = \alpha + 2k\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}.$

Et on a les équivalences suivantes: \begin{align} Arg \;z &= \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \iff M \in (OY) \iff x=0 \text{ et } y\gt 0.\\ Arg \;z &= -\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \iff M \in (OY) \iff x=0 \text{ et } y\lt 0.\\ Arg\;z &= 2k\pi \iff M \in (OX) \iff x \gt 0 \text{ et } y=0.\\ Arg\;z &= \pi + 2k\pi \iff M \in (OX) \iff x \lt 0 \text{ et } y=0.\\ \end{align}

3) Forme trigonométrique

La forme trigonométrique d'un nombre complexe est : $$ z = r(\cos \alpha + i\sin \alpha ) \text{ avec } r\geq 0 \text{ et } \alpha \in \mathbb{R}. $$ Si $r\lt 0$, alors l'écriture $z = r(\cos \alpha + i\sin \alpha )$ n'est pas. une forme trigonométrique de $z$ ; sa forme trigonométrique est en effet $z = -r(-\cos \alpha - i\sin \alpha ) = -r(\cos (\alpha+\pi) + i\sin (\alpha+\pi )$ car $-r\gt 0$.

De même : si $r\geq0$ alors les formes trigonométriques de : \begin{array}{ll} z_1 = r(\sin \alpha + i\cos \alpha ) & z_3 = r(\cos \alpha - i\sin \alpha ) \\ z_2 = r(-\cos \alpha + i\sin \alpha ) & z_4 = r(-\cos \alpha - i\sin \alpha ) \end{array} sont respectivement : \begin{array}{ll} z_1 = r(\cos (\frac{\pi}{2}-\alpha) + i\sin (\frac{\pi}{2}-\alpha)) & z_3 = r(\cos (-\alpha) + i\sin (- \alpha )) \\ z_2 = r(-\cos (\pi-\alpha) + i\sin (\pi-\alpha )) & z_4 = r(\cos (\pi+\alpha) +i\sin (\pi + \alpha ) \end{array}

Et par suite : $ \lvert z_1\rvert = \lvert z_2 \rvert =\lvert z_3\rvert =\lvert z_4\rvert = r$ et \begin{array}{ll} Arg\; z_1 = \frac{\pi}{2}-\alpha + 2k\pi & Arg\; z_4 = -\alpha + 2k\pi \\ Arg \; z_2 = \pi-\alpha + 2k\pi & Arg\; z_3 = \pi+\alpha + 2k\pi \end{array}

4) Propriétés

Soient $z = r(\cos \alpha + i\sin \alpha )$ et $z^\prime = r^\prime(\cos \alpha^\prime + i\sin \alpha^\prime )$ avec $r\gt $ et $r^\prime \gt 0.$ On a :

\begin{align} & zz^\prime = rr^\prime \left(\cos (\alpha +\alpha^\prime) + i\sin(\alpha + \alpha^\prime) \right) \\ &\\ & \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{r}\left(\cos (-\alpha) + i\sin(-\alpha) \right) \\ &\\ & \dfrac{z}{z^\prime} = \dfrac{r}{r^\prime}\left(\cos (\alpha-\alpha ^\prime) + i\sin(\alpha-\alpha ^\prime) \right)\\ &\\ & z^n = r^n\left(\cos (n \alpha) + i\sin (n \alpha) \right) \text{ pour tout $n$ entier naturel. } \\ \end{align}

5) Résolution d'équation

Soit $n \in \mathbb{N}^*-\{1\}, r\gt 0$ et $ \alpha \in \mathbb{R}.$

Les solutions de l'équation : $(E) : \; z^n = r\left(\cos \alpha + i \sin \alpha \right)\;$ sont les nombres complexes :

$z_k = \sqrt[n]{r}\left[ \cos \left(\dfrac{\alpha}{n}+\dfrac{2k\pi}{n} \right) + i \sin \left(\dfrac{\alpha}{n}+\dfrac{2k\pi}{n} \right) \right]\;$ avec $k \in \mathbb{Z}$

Ce sont les racines $n^{èmes}$ dans $\mathbb{C}$ du nombre complexe $u = r\left(\cos \alpha + i \sin \alpha \right)$.

Pour obtenir toutes les solutions de l'équation $(E)$, il suffit de donner à $k$ les valeurs : $0,1,2,3,4, \cdots (n-1)$ car les fonctions $\sin $ et $\cos $ sont périodiques de période $2\pi.$

Conséquences :

• Les solutions de l'équation $(F):\; z^n = 1 = \cos. 0+i\sin 0$ sont donc : $$ z_k = \cos \dfrac{2k\pi}{n} + i \sin \dfrac{2k\pi}{n}\;\text{ avec }k\in \{0, 1, 2, 3, \cdots ,(n-1) \}.$$ Ce sont les racines $n^{ème}$ de $1$ dans $\mathbb{C}.$
• Les solutions de l'équation $(H):\; z^n = -1 = \cos \pi+i\sin \pi$ sont: $$ z_k = \cos \left(\dfrac{\pi}{n}+\dfrac{2k\pi}{n}\right) + i \sin \left(\dfrac{\pi}{n}+\dfrac{2k\pi}{n}\right)\; \text{ avec } k\in \{0, 1, 2, 3, \cdots , (n-1) \}.$$ Ce sont les racines $n^{ème}$ de $-1$ dans $\mathbb{C}.$

Remarques:

Si $r\lt 0$ avant de résoudre l'équation $(E):\; z^n =r \left( \cos \alpha + i\sin \alpha \right),\;$ il faut d'abord écrire $z^n$ sous la forme trigonométrique, c'est à dire : $$ (E) \iff z^n =-r \left( -\cos \alpha - i\sin \alpha \right) = -r \left( \cos (\pi+\alpha) + i\sin (\pi+\alpha ). \right)\;$$ Et dans ce cas les solutions de $(E)$ sont : $$z_k = \sqrt[n]{-r}\left[ \cos \left(\dfrac{\alpha}{n}+\dfrac{\pi}{n}+\dfrac{2k\pi}{n} \right) + i \sin \left(\dfrac{\alpha}{n}+\dfrac{\pi}{n}+\dfrac{2k\pi}{n} \right) \right] \text{ avec } k \in \{1,2,3; \cdots, (n-1)\}.$$ De même pour les autres formes de $z$ (voir la partie 3)), il faut d'abord écrire $z^n$ sou sa forme trigonométrique.

6) Quelques formules trigonométriques utiles pour résoudre certaines des exercices :

\begin{array}{lcl} \forall x \in \mathbb{R} : \cos ^2 x = \dfrac{1+\cos (2x)}{2} & ; & \sin ^2 x = \dfrac{1-\cos(2x)}{2}.\\ \\ \forall x \in \mathbb{R}: \sin (2x) = 2\sin x \cos x & ; & \cos (2x) = \cos ^2 x - \sin ^2 x\\ \\ \text{Enfin on a les équivalences suivantes :} & & \\ \cos \theta = 0 \iff \theta = \dfrac{\pi}{2} + k & \text{avec } k \in \mathbb{Z} & \\ \\ \sin \theta = 0 \iff \theta = k\pi & \text{avec } k \in \mathbb{Z} & \\ \end{array}

Exercice 1

Résoudre, dans $\mathbb{C}$, les équations suivantes d'inconnue $z$ : $$ (E_1) : \; z^2 +4 \bar{z} -5 = 0\; \text{ et } \;(E_2) : \; \bar{z}^2 +z\bar{z}+iz -4 = 0. $$ $\bar{z}$ étant le conjugué de $z$.

Solution

$(E_1)$ n'est pas une équation du seconde degré dans $\mathbb{C}$ car il ya $z$ et $\bar{z}$ . Pour la résoudre , on pose : $z = x+iy$ avec $(x, y) \in \mathbb{R}^2$. Donc
\begin{align} (E_1) & \iff (x+iy)^2 + 4(x-iy) -5 = 0 \\ & \iff x^2-y^2+2ixy + 4x - 4iy -5 = 0 \\ & \iff (x^2-y^2+4x-5)+i(2xy-4y) = 0 \\ & \iff x^2-y^2+4x-5 = 0 \text{ et } 2xy-4y = 0 \\ & \iff x^2-y^2+4x-5 = 0 \text{ et } 2y(x-2) = 0 \\ & \iff x^2-y^2+4x-5 = 0 \text{ et } \left( y = 0 \text{ ou } x=2 \right) \\ \end{align}
Si $y = 0$ alors on a $x^2+4x-5 = 0$, par suite $x=1$ ou $x=-5$ d'où on a deux solutions $z_1 = 1$ et $z_2 = -5.$
Si $x=2$ alors on a $y^2 = x^2 + 4x -5 = 4+8-5 = 7$, par suite $y = \sqrt{7}$ ou $y = -\sqrt{7}$ d'où on adeux autres solutions $z_1 = 2+i\sqrt{7}$ et $z_2 = 2-i\sqrt{7}.$
Finalement: $$S_1 = \{1,\; -5,\; 2+i\sqrt{7},\; 2-i\sqrt{7}\}.$$