Les suites Numériques 2 Bac

A. Premiers concepts

1. Suites majorées – minorées – bornées

Définition

1. Une suite \( (u_n)_{n \in I} \) est dite majorée si : \( \exists\, M \in \mathbb{R},\; \forall n \in I,\; u_n \leq M \).

2. Une suite \( (u_n)_{n \in I} \) est dite minorée si : \( \exists\, m \in \mathbb{R},\; \forall n \in I,\; m \leq u_n \).

3. Une suite \( (u_n)_{n \in I} \) est dite bornée si elle est majorée et minorée.

2. Suites monotones

Définition

1. Une suite \( (u_n)_{n \in I} \) est dite croissante si : \( \forall n \in I,\; u_n \leq u_{n+1} \).

2. Une suite \( (u_n)_{n \in I} \) est dite décroissante si : \( \forall n \in I,\; u_n \geq u_{n+1} \).

3. Une suite \( (u_n)_{n \in I} \) est dite constante si : \( \forall n \in I,\; u_n = u_{n+1} \).

3. Suites arithmétiques

Définition

Une suite \( (u_n)_{n \in I} \) est dite arithmétique s'il existe un réel \( r \) tel que pour tout entier \( n \) de \( I \) : \[ u_{n+1} = u_n + r \] Le réel \( r \) est appelé la raison de la suite \( (u_n)_{n \in I} \).

Propriété — Terme général

Soit \( (u_n)_{n \in I} \) une suite arithmétique de raison \( r \). \[ \forall (n, p) \in I^2\;:\quad u_n = u_p + (n - p)\,r \]

Propriété — Somme des termes

Soit \( (u_n)_{n \in I} \) une suite arithmétique de premier terme \( u_{n_0} \).

La somme des termes consécutifs entre le rang \( n_0 \) et le rang \( n \) est : \[ u_{n_0} + u_{n_0+1} + \cdots + u_n \;=\; \frac{n - n_0 + 1}{2}\,(u_{n_0} + u_n) \] En particulier, si \( n_0 = 0 \) : \[ \sum_{i=0}^{n} u_i \;=\; \frac{n + 1}{2}\,(u_0 + u_n) \]

4. Suites géométriques

Définition

Une suite \( (u_n)_{n \in I} \) est dite géométrique s'il existe un réel \( q \) tel que pour tout entier \( n \) de \( I \) : \[ u_{n+1} = q \times u_n \] Le réel \( q \) est appelé la raison de la suite \( (u_n)_{n \in I} \).

Propriété — Terme général

Soit \( (u_n)_{n \in I} \) une suite géométrique de raison \( q \). \[ \forall (n, p) \in I^2\;:\quad u_n = u_p \times q^{(n-p)} \]

Propriété — Somme des termes

Soit \( (u_n)_{n \in I} \) une suite géométrique de raison \( q \) et de premier terme \( u_{n_0} \).

1. Si \( q \neq 1 \) : \[ u_{n_0} + u_{n_0+1} + \cdots + u_n \;=\; u_{n_0}\,\frac{1 - q^{(n - n_0 + 1)}}{1 - q} \] 2. Si \( q = 1 \) : \[ u_{n_0} + u_{n_0+1} + \cdots + u_n \;=\; (n - n_0 + 1)\,u_{n_0} \]

Remarque : en particulier, si \( n_0 = 0 \) : \[ \sum_{i=0}^{n} u_i \;=\; u_0\,\frac{1 - q^{(n+1)}}{1 - q} \]

B. Limite d'une suite numérique

1. Limite finie

Définition

On dit qu'un réel \( \ell \) est limite d'une suite numérique \( (u_n) \), si tout intervalle ouvert contenant \( \ell \) contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

On dit alors que la suite \( (u_n) \) converge vers \( \ell \), et on note : \[ \lim_{n \to +\infty} u_n = \ell \]

Remarques :

• La suite \( (u_n) \) converge vers \( \ell \) si, pour tout \( \varepsilon > 0 \), il existe un entier naturel \( N_0 \) tel que : \[ n \geq N_0 \;\Longrightarrow\; u_n \in \,]\ell - \varepsilon\,;\,\ell + \varepsilon\,[ \] • Si une suite converge, alors sa limite est unique.

Propriété — Limites de référence

\( \displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0 \)    \( \displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^k} = 0 \;\; (k \in \mathbb{N}^*) \)    \( \displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0 \)

2. Limite infinie

Définition

1. Une suite numérique \( (u_n) \) a pour limite \( +\infty \), si tout intervalle ouvert de la forme \( ]A\,;+\infty[ \) avec \( A \in \mathbb{R}_+^* \), contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On note \( \displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty \).

2. On définit de façon analogue une suite qui diverge vers \( -\infty \).

Propriété — Limites de référence

\( \displaystyle\lim_{n \to +\infty} n^k = +\infty \;\; (k \in \mathbb{N}^*) \)    \( \displaystyle\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty \)

C. Propriétés principales

1. Opérations sur les limites

a. Limite d'une somme

Limite de \( (u_n) \)	\( \ell \)	\( \ell \)	\( +\infty \)	\( -\infty \)	\( +\infty \)
Limite de \( (v_n) \)	\( \ell' \)	\( +\infty \)	\( -\infty \)	\( +\infty \)	\( -\infty \)
Limite de \( (u_n + v_n) \)	\( \ell + \ell' \)	\( +\infty \)	\( -\infty \)	\( +\infty \)	F.I

b. Limite d'un produit

Limite de \( (u_n) \)	\( \ell \)	\( \ell > 0 \) ou \( +\infty \)	\( \ell > 0 \) ou \( +\infty \)	\( \ell < 0 \) ou \( -\infty \)	\( +\infty \) ou \( -\infty \)
Limite de \( (v_n) \)	\( \ell' \)	\( +\infty \)	\( -\infty \)	\( -\infty \)	\( 0 \)
Limite de \( (u_n \times v_n) \)	\( \ell \times \ell' \)	\( +\infty \)	\( -\infty \)	\( +\infty \)	F.I

c. Limite d'un inverse

Limite de \( (u_n) \)	\( \ell \neq 0 \)	\( +\infty \) ou \( -\infty \)	\( 0 \)
Limite de \( \left(\dfrac{1}{u_n}\right) \)	\( \dfrac{1}{\ell} \)	\( 0 \)	\( +\infty \) ou \( -\infty \)

Remarques :

• Pour la limite d'une différence : \( u_n - v_n = u_n + (-v_n) \).

• Pour la limite d'un quotient : \( \dfrac{u_n}{v_n} = u_n \times \dfrac{1}{v_n} \).

• Il y a quatre formes indéterminées : \( +\infty - \infty \),   \( 0 \times \infty \),   \( \dfrac{\infty}{\infty} \),   \( \dfrac{0}{0} \).

2. Limite et relation d'ordre

Propriété (1)

Soit \( (u_n) \) une suite convergente et \( \ell \) sa limite.

1. S'il existe un réel \( a \) tel que \( u_n \leq a \) à partir d'un certain rang, alors \( \ell \leq a \).

2. S'il existe un réel \( b \) tel que \( u_n \geq b \) à partir d'un certain rang, alors \( \ell \geq b \).

Propriété (2)

Soit \( (u_n) \) et \( (v_n) \) deux suites convergeant respectivement vers \( \ell \) et \( \ell' \).

1. Si \( u_n \leq v_n \) à partir d'un certain rang, alors \( \ell \leq \ell' \).

2. Si \( u_n \geq v_n \) à partir d'un certain rang, alors \( \ell \geq \ell' \).

3. Théorèmes fondamentaux

Théorème (1)

Soit \( (u_n) \) et \( (v_n) \) deux suites numériques et \( \ell \) un nombre réel. \[ \left.\begin{array}{l} |u_n - \ell| \leq v_n \text{, à partir d'un certain rang} \\ \displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = 0 \end{array}\right\} \;\Longrightarrow\; \lim_{n \to +\infty} u_n = \ell \]

Théorème (2) — Théorème des gendarmes

Soit \( (u_n) \), \( (v_n) \) et \( (w_n) \) trois suites numériques et \( \ell \) un nombre réel. \[ \left.\begin{array}{l} w_n \leq u_n \leq v_n \text{, à partir d'un certain rang} \\ \displaystyle\lim_{n \to +\infty} w_n = \lim_{n \to +\infty} v_n = \ell \end{array}\right\} \;\Longrightarrow\; \lim_{n \to +\infty} u_n = \ell \]

Théorème (3) — Comparaison

Soit \( (u_n) \) et \( (v_n) \) deux suites numériques.

1. \( \left.\begin{array}{l} v_n \leq u_n \text{, à partir d'un certain rang} \\ \displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty \end{array}\right\} \;\Longrightarrow\; \displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty \).

2. \( \left.\begin{array}{l} u_n \leq v_n \text{, à partir d'un certain rang} \\ \displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty \end{array}\right\} \;\Longrightarrow\; \displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty \).

4. Suites monotones

Théorème

Soit \( (u_n) \) une suite numérique, \( m \) et \( M \) deux réels.

1. Si la suite \( (u_n) \) est croissante et majorée par \( M \), alors elle est convergente.

2. Si la suite \( (u_n) \) est décroissante et minorée par \( m \), alors elle est convergente.

Remarques :

• Ce théorème justifie l'existence d'une limite finie mais ne précise pas cette limite.

• Une suite croissante et majorée par \( M \) ne converge pas forcément vers \( M \).

• Une suite décroissante et minorée par \( m \) ne converge pas forcément vers \( m \).

D. Limite de suites particulières

1. Suite de la forme \( u_n = q^n \)

Propriété

Soit \( q \) un réel non nul et \( n \) un entier naturel.

1. Si \( q > 1 \), alors \( \displaystyle\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty \).

2. Si \( q = 1 \), alors \( \displaystyle\lim_{n \to +\infty} q^n = 1 \).

3. Si \( |q| < 1 \), alors \( \displaystyle\lim_{n \to +\infty} q^n = 0 \).

4. Si \( q \leq -1 \), alors la suite \( (q^n) \) n'admet pas de limite.

2. Suite de la forme \( u_n = n^r \)

Propriété

Soit \( r \) un rationnel non nul et \( n \) un entier naturel non nul.

1. Si \( r > 0 \), alors \( \displaystyle\lim_{n \to +\infty} n^r = +\infty \). La suite \( (n^r) \) diverge vers \( +\infty \).

2. Si \( r < 0 \), alors \( \displaystyle\lim_{n \to +\infty} n^r = 0 \). La suite \( (n^r) \) converge vers \( 0 \).

3. Suite de la forme \( v_n = f(u_n) \)

Propriété

Soit \( (u_n) \) une suite numérique, \( f \) une fonction définie sur un intervalle \( I \) et \( \ell \) un réel de \( I \). \[ \left.\begin{array}{l} \text{La suite } (u_n) \text{ converge vers } \ell \\ \text{La fonction } f \text{ est continue en } \ell \end{array}\right\} \;\Longrightarrow\; \lim_{n \to +\infty} f(u_n) = f(\ell) \]

4. Suite de la forme \( u_{n+1} = f(u_n) \)

Propriété

Soit \( f \) une fonction définie sur un intervalle \( I \), et \( (u_n) \) une suite définie par \( u_{n_0} \in I \) et \( u_{n+1} = f(u_n) \).

Si les conditions suivantes sont vérifiées :
  1. \( f \) est continue sur \( I \).
  2. \( f(I) \subseteq I \).
  3. \( (u_n) \) converge vers un réel \( \ell \).

Alors la limite de \( (u_n) \) est une solution de l'équation \( f(x) = x \) dans \( I \).