Théorème des accroissements finis (TAF)

Cours et exemples corrigés sur le théorème des accroissements finis (T.A.F), l'inégalité des accroissements finis (I.A.F) --- 2 Bac SM BIOF.

Théorème

Théorème des accroissements finis (T.A.F)

Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$, dérivable sur $]a, b[$. Alors il existe un réel $c \in \,]a, b[$ tel que :

$$f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$$

Preuve : Considérons la fonction $g$ telle que :

$$g(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)$$

$g$ est continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $]a, b[$ (somme de fonctions dérivables et continues) et on a $g(a) = g(b) = 0$. D'après le théorème de Rolle, il existe un réel $c \in \,]a, b[$ tel que $g'(c) = 0$. On a $g'(x) = f'(x) - \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Donc $g'(c) = 0 \Leftrightarrow f'(c) - \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = 0$, d'où $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$.

Théorème

Inégalité des accroissements finis (I.A.F)

Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$, dérivable sur $]a, b[$. S'il existe deux réels $M$ et $m$ tels que $m \leq f'(x) \leq M$ pour tout $x \in \,]a, b[$, alors :

$$m(b - a) \leq f(b) - f(a) \leq M(b - a)$$

Preuve : $f$ est continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $]a, b[$, donc d'après le T.A.F il existe $c \in \,]a, b[$ tel que $f'(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$, et puisque $m \leq f'(x) \leq M$ pour tout $x \in \,]a, b[$ alors $m \leq f'(c) \leq M$, donc $m \leq \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \leq M$, donc $m(b - a) \leq f(b) - f(a) \leq M(b - a)$.

Théorème

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Si $f$ est dérivable sur $I$ et $(\forall x \in I)\big(|f'(x)| \leq k$ où $k \in \mathbb{R}_+^*\big)$, alors :

$$(\forall (x, y) \in I^2)\big(|f(x) - f(y)| \leq k\,|x - y|\big)$$

Preuve : Soient $x$ et $y$ deux éléments de $I$. Si $x \neq y$, $f$ est continue sur l'intervalle fermé de bornes $x$ et $y$ et dérivable sur l'ouvert de bornes $x$ et $y$ ; donc, d'après le T.A.F, il existe $c$ compris entre $x$ et $y$ tel que $f(x) - f(y) = f'(c)(x - y)$, et puisque $c \in I$ alors $|f'(c)| \leq k$, donc $|f(x) - f(y)| = |f'(c)|\,|x - y| \leq k\,|x - y|$. Si $x = y$, l'inégalité est vraie. D'où la preuve du théorème.

Exemple

Montrer que $|sin x| \leq |x| $

En utilisant l'I.A.F, montrer que $(\forall x \in \mathbb{R})(|\sin x| \leq |x|)$.

Solution : Considérons la fonction $f(x) = \sin x$. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, $f'(x) = \cos x$ et $|f'(x)| = |\cos x| \leq 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Par application de l'I.A.F sur l'intervalle de bornes $0$ et $x$ (soit $[a, b]$ où $a = \inf(x, 0)$ et $b = \sup(x, 0)$) :

$$|f(b) - f(a)| \leq 1 \cdot |b - a|$$

Donc $|\sin x - \sin 0| \leq 1 \cdot |x - 0|$, donc $|\sin x| \leq |x|$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Exemple

Encadrement de $\arctan b − \arctan a$

En utilisant le T.A.F, montrer que pour tout $a \in \mathbb{R}$, tout $b \in \mathbb{R}$ avec $0 \leq a \leq b$ :

$$\frac{b - a}{1 + b^2} \leq \arctan b - \arctan a \leq \frac{b - a}{1 + a^2}$$

Solution : Considérons la fonction $f(x) = \arctan x$. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}$, donc $\dfrac{1}{1 + b^2} \leq f'(x) \leq \dfrac{1}{1 + a^2}$ pour tout $x \in [a, b]$. Par application du T.A.F sur l'intervalle $[a, b]$ :

$$\frac{1}{1 + b^2}(b - a) \leq f(b) - f(a) \leq \frac{1}{1 + a^2}(b - a)$$

Donc $\dfrac{b - a}{1 + b^2} \leq \arctan b - \arctan a \leq \dfrac{b - a}{1 + a^2}$.

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