Fonctions exponentielles

Cours sur les fonctions exponentielles 2 Bac SM : définition de exp, propriétés, limites usuelles, dérivée, tableau de variation et exponentielle de base a.

Définition

la fonction exponentielle

La fonction $\ln$ admet une fonction réciproque définie de $]-\infty, +\infty[$ vers $]0, +\infty[$, appelée fonction exponentielle népérienne, notée $\exp$, et qui est strictement monotone sur $\mathbb{R}$.

Propriété

Propriétés algébriques de la fonction exponentielle

Pour tout $x$ et $y$ dans $\mathbb{R}$ :

$$e^{x+y} = e^x \times e^y \quad ; \quad e^{-x} = \frac{1}{e^x} \quad ; \quad e^{x-y} = \frac{e^x}{e^y}$$ $$e^{rx} = (e^x)^r \ (r \in \mathbb{Q}) \quad ; \quad e^{\ln x} = x \ (\forall x > 0) \quad ; \quad \ln(e^x) = x \ (\forall x \in \mathbb{R})$$ $$(\forall y > 0)(\forall x \in \mathbb{R})\big(e^x = y \Leftrightarrow x = \ln y\big)$$ $$(\forall y > 0)(\forall x \in \mathbb{R})\big(e^x = e^y \Leftrightarrow x = y\big)$$ $$(\forall y > 0)(\forall x \in \mathbb{R})\big(e^x \geq e^y \Leftrightarrow x \geq y\big)$$

Propriété

Dérivée et primitive

La fonction $\exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(\forall x \in \mathbb{R})\ (e^x)' = e^x$.

Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, alors la fonction $e^{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et :

$$(\forall x \in I)\ \left(e^{u(x)}\right)' = u'(x)\,e^{u(x)}$$

Si $u$ est une fonction dérivable, alors une primitive de $u'(x)\,e^{u(x)}$ est $e^{u(x)}$.

Formule

Limites usuelles

$$\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \quad ; \quad \lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \quad ; \quad \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$$ $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \quad ; \quad \lim_{x \to -\infty} x e^x = 0^- \quad ; \quad \lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$$ $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \qquad \text{avec } n \in \mathbb{N}^*$$

Propriété

Représentation de la fonction $exp$

Les courbes $C_{\ln}$ et $C_{\exp}$ sont symétriques par rapport à la première bissectrice $(\Delta) : y = x$.

Résumé

Tableau de variation de la fonction $exp$

$\exp$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, avec $\exp(0) = 1$ et $\exp(1) = e$ :

$$\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & 0 & & 1 & & +\infty \\ \hline \exp(x) & 0 & \nearrow & 1 & \nearrow & e & \nearrow & +\infty \end{array}$$

Définition

Fonction exponentielle de base a

Soit $a > 0$ et $a \neq 1$ ; on a :

$(\forall x \in \mathbb{R})\ a^x = e^{x \ln a}$
la fonction $\exp_a$ est définie sur $\mathbb{R}$ ;
$(\forall x \in \mathbb{R})\ a^x > 0$ ;
$(\forall x \in \mathbb{R})(\forall y \in \mathbb{R}_+^*)\big(a^x = y \Leftrightarrow x = \log_a y\big)$ ;
$(\forall x \in \mathbb{R})\ \log_a(a^x) = x$ ;
$(\forall x \in \mathbb{R}_+^*)\ a^{\log_a(x)} = x$.

Formule

Propriétés algébriques de $a^x$

$(\forall a \in \mathbb{R}_+^*)(\forall b \in \mathbb{R}_+^*)(\forall x \in \mathbb{R})(\forall y \in \mathbb{R})$ :

$$a^x \times a^y = a^{x+y} \quad ; \quad a^{-x} = \frac{1}{a^x} \quad ; \quad (a \times b)^x = a^x \times b^x$$ $$(a^x)^y = a^{xy} \quad ; \quad a^{x-y} = \frac{a^x}{a^y} \quad ; \quad \left(\frac{a}{b}\right)^x = \frac{a^x}{b^x} \quad ; \quad a^{rx} = (a^x)^r$$

Propriété

Dérivée de $a^x$

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ :

$$(a^x)' = a^x \times \ln a = (\ln a)\,a^x$$

$x \mapsto a^x$ est strictement croissante si $a > 1$ ;
$x \mapsto a^x$ est strictement décroissante si $0 < a < 1$.

Propriété

Primitive de $u'(x)a^{u(x)}$

Si $u$ est une fonction dérivable, alors une primitive de $u'(x)\,a^{u(x)}$ est :

$$\frac{1}{\ln a}\,a^{u(x)}$$

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