Exercices corrigés : Calcul vectoriel dans le plan Tronc commun scientifique

• On a $\overrightarrow{AM} = -2\overrightarrow{AB}$, donc $M$ appartient à la demi-droite d'origine $A$ qui ne contient pas le point $B$.
• On a $2\overrightarrow{BN} = 3\overrightarrow{CA}$, donc $\overrightarrow{BN} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{CA}$.

Ainsi $N$ appartient à la droite parallèle à $(AC)$ passant par le point $B$.

• On a $\overrightarrow{AP} = 2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$ : on construit d'abord les points $E$ et $F$ tels que $\overrightarrow{AE} = 2\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AF} = -\overrightarrow{AC}$, puis on construit le point $P$ tel que $AEPF$ soit un parallélogramme.
• On a $\overrightarrow{AQ} = 2\overrightarrow{BQ} + 3\overrightarrow{QC}$, donc $$\begin{aligned}\overrightarrow{AQ} &= 2\overrightarrow{BA} + 2\overrightarrow{AQ}\\ &\quad + 3\overrightarrow{QA} + 3\overrightarrow{AC}.\end{aligned}$$

D'où $$\begin{aligned}\overrightarrow{AQ} &= -2\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AQ}\\ &\quad - 3\overrightarrow{AQ} + 3\overrightarrow{AC},\end{aligned}$$ c'est-à-dire $2\overrightarrow{AQ} = -2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}$.

Par suite : $\boxed{\overrightarrow{AQ} = -\overrightarrow{AB} + \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}}$

1. On a $\overrightarrow{BE} = 2\overrightarrow{AC}$, donc $E$ appartient à la droite parallèle à $(AC)$ passant par le point $B$.

On a $\overrightarrow{CF} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$, donc $F$ appartient à la droite parallèle à $(AB)$ passant par le point $C$.

2. On a $\overrightarrow{BE} = 2\overrightarrow{AC}$, donc $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AE} = 2\overrightarrow{AC}$, d'où $\overrightarrow{AE} = -\overrightarrow{BA} + 2\overrightarrow{AC}$.

Par suite : $\boxed{\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}}$

On a $\overrightarrow{CF} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$, donc $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AF} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$, d'où $\overrightarrow{AF} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CA}$.

Par suite : $\boxed{\overrightarrow{AF} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}$

3. On a $\overrightarrow{AF} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$, c'est-à-dire $2\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}$, donc $2\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AE}$.

D'où les vecteurs $\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{AF}$ sont colinéaires.

Par suite : les points $A$, $E$ et $F$ sont alignés.

1. On a $\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$, donc $I$ appartient à la demi-droite $[AB)$ et $AI = \dfrac{1}{3}AB$.

On a $\overrightarrow{CJ} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{CA}$, donc $J$ appartient à la demi-droite $[CA)$ et $CJ = \dfrac{3}{4}CA$.

On a $\overrightarrow{BK} = -2\overrightarrow{BC}$, donc $K$ appartient à la demi-droite d'origine $B$ qui ne contient pas le point $C$, et $BK = 2BC$.

2. On a $$\begin{aligned}\overrightarrow{IJ} &= \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CJ}\\ &= -\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} - \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}.\end{aligned}$$

D'où : $\boxed{\overrightarrow{IJ} = -\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}}$

On a $$\begin{aligned}\overrightarrow{IK} &= \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BK}\\ &= -\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB}\\ &\quad - 2\big(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}\big).\end{aligned}$$

Donc $$\begin{aligned}\overrightarrow{IK} &= \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB} - 2\big(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}\big)\\ &= \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AC}.\end{aligned}$$

D'où : $\boxed{\overrightarrow{IK} = \dfrac{8}{3}\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AC}}$

3. On a $\overrightarrow{IJ} = -\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}$, donc $$\begin{aligned}-8\overrightarrow{IJ} &= \dfrac{8}{3}\overrightarrow{AB} - \dfrac{8}{4}\overrightarrow{AC}\\ &= \dfrac{8}{3}\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AC}.\end{aligned}$$

C'est-à-dire $\overrightarrow{IK} = -8\overrightarrow{IJ}$. Donc les vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{IK}$ sont colinéaires.

Par suite : les points $I$, $J$ et $K$ sont alignés.

1. Figure :

2. On a $$\begin{aligned}\overrightarrow{AE} &= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE}\\ &= \overrightarrow{AB} + \dfrac{3}{2}\overrightarrow{BC}\\ &= \overrightarrow{AB} + \dfrac{3}{2}\big(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}\big).\end{aligned}$$

Donc $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} - \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}$, d'où : $\boxed{\overrightarrow{AE} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}}$

On a $\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AF}$, d'où : $\boxed{\overrightarrow{BF} = -\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}}$

On a $\overrightarrow{CG} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AG} = -\overrightarrow{AC} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$, d'où : $\boxed{\overrightarrow{CG} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}}$

3. On a $\overrightarrow{AE} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}$, c'est-à-dire $2\overrightarrow{AE} = -\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}$, donc $2\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{BF}$.

D'où $\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{BF}$ sont colinéaires. Par suite : $(AE) \parallel (BF)$.

On a $\overrightarrow{AE} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}$, donc :

$$\begin{aligned}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AE} &= -\dfrac{2}{3}\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)\overrightarrow{AB}\\ &\quad - \dfrac{2}{3}\times\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}\\ &= \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}.\end{aligned}$$

D'où $-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CG}$. On en déduit que $\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{CG}$ sont colinéaires. Par suite : $(AE) \parallel (CG)$.

Conclusion : les droites $(AE)$, $(BF)$ et $(CG)$ sont parallèles.

4. $I$ est le milieu du segment $[BF]$, c'est-à-dire $\overrightarrow{BI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BF}$.

Et on a $\overrightarrow{AE} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}$.

Donc $\overrightarrow{BI} = \dfrac{1}{2}\big(-\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}\big)$, d'où $\overrightarrow{BI} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}$.

Par suite : $\boxed{\overrightarrow{BI} = \overrightarrow{AE}}$

1. On a $\overrightarrow{BI} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{BA}$, donc $$\begin{aligned}\overrightarrow{AI} &= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BI}\\ &= \overrightarrow{AB} - \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}.\end{aligned}$$

Et on a $O$ le centre de $ABCD$, donc $O$ est le milieu de $[BD]$.

D'où $$\begin{aligned}\overrightarrow{AO} &= \dfrac{1}{2}\big(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\big)\\ &= \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}.\end{aligned}$$

Et on a $$\begin{aligned}\overrightarrow{OI} &= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AI}\\ &= \left(-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}\right)\\ &\quad + \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}.\end{aligned}$$

Par suite : $\boxed{\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}}$

On a $\overrightarrow{AJ} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AO} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}$.

Donc $$\begin{aligned}\overrightarrow{OJ} &= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AJ}\\ &= -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD} + \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}.\end{aligned}$$

D'où : $\boxed{\overrightarrow{OJ} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}}$

2. On a $\overrightarrow{OI} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}$, donc $-2\overrightarrow{OI} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$.

D'où $\overrightarrow{OJ} = -2\overrightarrow{OI}$. Par suite : les points $O$, $I$ et $J$ sont alignés.

3. On a $$\begin{aligned}\overrightarrow{IE} &= \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{BE}\\ &= \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB},\end{aligned}$$ et d'après ce qui précède : $\overrightarrow{AI} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}$.

Donc $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IE}$. Par suite : $I$ est le milieu du segment $[AE]$.

On a $\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AJ} = -\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB} + \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}$.

Et on a $\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BE} = -\overrightarrow{AD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$, donc $-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{CE} = -\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB} + \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}$.

D'où $-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{IJ}$, c'est-à-dire que $\overrightarrow{CE}$ et $\overrightarrow{IJ}$ sont colinéaires. Par suite : $\boxed{(IJ) \parallel (CE)}$

1. On a $\overrightarrow{BE} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow{BC}$,

c'est-à-dire $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AE} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow{BA} + \dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}$.

Donc $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} - \dfrac{2}{5}\overrightarrow{AB} + \dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}$.

Par suite : $\boxed{\overrightarrow{AE} = \dfrac{3}{5}\overrightarrow{AB} + \dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}}$

On a $\overrightarrow{AF} - 3\overrightarrow{BF} - 2\overrightarrow{CF} = \vec{0}$, c'est-à-dire $$\begin{aligned}&\overrightarrow{AF} - 3\overrightarrow{BA} - 3\overrightarrow{AF}\\ &\quad - 2\overrightarrow{CA} - 2\overrightarrow{AF} = \vec{0}.\end{aligned}$$

Donc $$\begin{aligned}-4\overrightarrow{AF} &= 3\overrightarrow{BA} + 2\overrightarrow{CA}\\ &= -3\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AC}.\end{aligned}$$

D'où : $\boxed{\overrightarrow{AF} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}}$

2. On a $\overrightarrow{AI} = 3\overrightarrow{BI} = 3\overrightarrow{BA} + 3\overrightarrow{AI}$, donc $-2\overrightarrow{AI} = -3\overrightarrow{AB}$, d'où $\overrightarrow{AI} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}$.

Donc $$\begin{aligned}\dfrac{1}{2}\big(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AI}\big) &= \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}\\ &= \overrightarrow{AF}.\end{aligned}$$

Par suite : $F$ est le milieu du segment $[CI]$.