Le chapitre Limites et continuité en 2 bac PC et SVT : opérations sur les limites, continuité en un point et sur un intervalle, prolongement par continuité, théorème des valeurs intermédiaires, fonction réciproque, racine n-ième et puissance rationnelle, avec exercices corrigés.
2b) $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = -4$. On dit que $f$ est continue en $x_0 = 1$.
Définition
Continuité en un point
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de centre $a$. On dit que la fonction $f$ est continue en $a$ si elle admet une limite finie en $a$ et $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
Exemple
Continuité en 3 d’une fonction rationnelle prolongée
Considérons $f(x) = \dfrac{x^2 + x - 12}{x - 3}$ si $x \neq 3$ et $f(3) = 7$. Étudier la continuité de $f$ en $x_0 = 3$.
Voir la correction
On a $f(x) = \dfrac{x^2 + x - 12}{x - 3} = x + 4$ (division exacte). Donc $\displaystyle\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} (x + 4) = 7 = f(3)$. Alors $\displaystyle\lim_{x \to 3} f(x) = f(3)$, donc $f$ est continue en $x_0 = 3$.
Exercice
Exercice 4 — continuité en 0 de (√(x+1)−1)/tan x
Considérons $f(x) = \dfrac{\sqrt{x+1} - 1}{\tan x}$ si $x \neq 0$ et $f(0) = \dfrac{1}{2}$. Étudier la continuité de $f$ en $x_0 = 0$.
Alors $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$, donc $f$ est continue en $x_0 = 2$.
Exercice
Exercice 6 — déterminer m pour que f soit continue en 1
Considérons $f(x) = \dfrac{\sin(\pi x)}{x - 1}$ si $x \neq 1$ et $f(1) = m$ ($m$ paramètre réel). Déterminer la valeur de $m$ pour laquelle $f$ est continue en $x_0 = 1$.
Voir la correction
On pose $h = x - 1$ ; $x \to 1 \iff h \to 0$. Comme $\sin(\pi x) = \sin(\pi(h+1)) = \sin(\pi h + \pi) = -\sin(\pi h)$ :
Donc $f$ est continue en $x_0 = 1$ si et seulement si $m = -\pi$.
Exercice
Exercice 7 — continuité en 0 par encadrement
Considérons $f(x) = 2 + x^2 \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$ si $x \neq 0$ et $f(0) = 2$. Étudier la continuité de $f$ en $x_0 = 0$.
Voir la correction
Pour tout $x \in \mathbb{R}^*$, $\left|\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\right| \leq 1$, donc $|f(x) - 2| = x^2 \left|\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\right| \leq x^2$. Or $\displaystyle\lim_{x \to 0} x^2 = 0$, alors $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 2 = f(0)$. Donc $f$ est continue en $x_0 = 0$.
Continuité à droite et à gauche
Exemple
Fonction discontinue en 0 : limites latérales différentes
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$ si $x \leq 0$ et $f(x) = 2 + x$ si $x > 0$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x^2 = 0 = f(0)$ : $f$ est continue à gauche de $0$. Mais $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} 2 + x = 2 \neq f(0)$ : $f$ n'est pas continue à droite de $0$. Comme $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) \neq \lim_{x \to 0^-} f(x)$, la limite en $0$ n'existe pas ; $f$ ne peut donc être continue en $0$. Graphiquement, la courbe ne peut être tracée sur un intervalle comprenant $0$ « sans lever le crayon ».
Définition
Continuité à droite et continuité à gauche
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $[a, a + r[$ où $r > 0$. On dit que $f$ est continue à droite de $a$ si elle admet une limite finie à droite en $a$ et $\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $]a - r, a]$ où $r > 0$. On dit que $f$ est continue à gauche de $a$ si elle admet une limite finie à gauche en $a$ et $\displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$.
Théorème
Continuité en un point et continuité latérale
Une fonction est continue en un point $a$ si et seulement si elle est continue à droite et à gauche de $a$. Donc $f$ est continue en $a$ si et seulement si $\displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$.
Exemple
Continuité à droite et à gauche en 0 d’une fonction par morceaux
Soit $f$ définie par $f(x) = 3 - x^2$ si $x \leq 0$ et $f(x) = \dfrac{x^2 - 3}{2x - 1}$ si $x > 0$. Étudier la continuité de $f$ à droite et à gauche de $x_0 = 0$.
Voir la correction
$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2 - 3}{2x - 1} = \frac{-3}{-1} = 3 = f(0)$ : $f$ est continue à droite de $0$.
$\displaystyle\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} 3 - x^2 = 3 = f(0)$ : $f$ est continue à gauche de $0$. (Donc $f$ est continue en $0$.)
Exemple
Continuité en 2 d’une fonction définie par morceaux
Considérons $f(x) = \dfrac{2x + 1}{7 - 3x}$ si $x \leq 2$ et $f(x) = \dfrac{x^2 + x - 6}{x - 2}$ si $x > 2$. Étudier la continuité de $f$ en $x_0 = 2$.
3) Soit $\tilde{f}$ définie par $\tilde{f}(x) = f(x)$ si $x \neq -1$ et $\tilde{f}(-1) = 3$ : déterminer $D_{\tilde{f}}$ et étudier la continuité de $\tilde{f}$ en $-1$.
4) Peut-on prolonger $f$ par continuité en $a = -2$ ?
Voir la correction
1) $x^2 + 3x + 2 \neq 0 \iff x \neq -1$ et $x \neq -2$, donc $D_f = \mathbb{R} - \{-1 ; -2\}$.
2) $\displaystyle\lim_{x \to -1} \frac{x^3 + 1}{x^2 + 3x + 2} = \lim_{x \to -1} \frac{(x+1)(x^2 - x + 1)}{(x+1)(x+2)} = \lim_{x \to -1} \frac{x^2 - x + 1}{x + 2} = 3$. Comme $-1 \notin D_f$, $f$ n'est pas continue en $-1$.
3) $D_{\tilde{f}} = \mathbb{R} - \{-2\}$ ; $\displaystyle\lim_{x \to -1} \tilde{f}(x) = 3 = \tilde{f}(-1)$ donc $\tilde{f}$ est continue en $-1$. $\tilde{f}$ est le prolongement par continuité de $f$ en $-1$.
4) $\displaystyle\lim_{x \to -2} x^3 + 1 = -7$ et $\displaystyle\lim_{x \to -2^+} x^2 + 3x + 2 = 0^-$, donc $\displaystyle\lim_{x \to -2} f(x) = +\infty$ (infinie). On ne peut donc pas prolonger $f$ par continuité en $a = -2$.
Définition
Prolongement par continuité d’une fonction en un point
Soit $f$ une fonction de domaine $D_f$ ; $a$ un réel tel que $a \notin D_f$ et $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = l$ (finie). La fonction $\tilde{f}$ définie par $\tilde{f}(x) = f(x)$ si $x \neq a$ et $\tilde{f}(a) = l$ est continue en $a$ et s'appelle le prolongement par continuité de la fonction $f$ en $a$.
Exemple
Prolongement par continuité de (1−cos x)/x en 0
Soit $f(x) = \dfrac{1 - \cos x}{x}$. Donner un prolongement par continuité de $f$ en $x_0 = 0$.
Voir la correction
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} \times x = \frac{1}{2} \times 0 = 0$. La fonction $\tilde{f}$ définie par $\tilde{f}(x) = f(x)$ si $x \neq 0$ et $\tilde{f}(0) = 0$ est un prolongement par continuité de $f$ en $0$.
Opérations sur les fonctions continues
Définition
Continuité sur un intervalle
Soit $f$ de domaine $D_f$ et $]a, b[$ un intervalle inclus dans $D_f$.
$f$ est continue sur l'ouvert $]a, b[$ si elle est continue en tout point de $]a, b[$.
$f$ est continue sur $[a, b[$ si elle est continue sur $]a, b[$ et à droite de $a$.
$f$ est continue sur $[a, b]$ si elle est continue sur $]a, b[$, à droite de $a$ et à gauche de $b$.
Remarque
Réunion d’intervalles de continuité
Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et sur $[b, c]$, elle est continue sur $[a, c]$. Plus généralement, si $f$ est continue sur $I$ et sur $J$ avec $I \cap J \neq \varnothing$, alors $f$ est continue sur $I \cup J$. En revanche, $f$ peut être continue sur $[a, b[$ et sur $[b, c]$ sans être continue sur $[a, c]$ (exemple : $f(x) = \frac{1}{x}$ si $x < 0$ et $f(x) = x^2$ si $x \geq 0$ est continue sur $[-3, 0[$ et sur $[0, 2]$ mais pas sur $[-3, 0]$, car discontinue en $0$).
Propriété
Somme, produit, valeur absolue, quotient et racine
Si $f$ et $g$ sont continues en $a$, alors $f + g$, $f \times g$ et $|f|$ sont continues en $a$.
Si $f$ et $g$ sont continues en $a$ et $g(a) \neq 0$, alors $\dfrac{1}{g}$ et $\dfrac{f}{g}$ sont continues en $a$.
Si $f$ est continue en $a$ et $f(a) \geq 0$, alors $\sqrt{f}$ est continue en $a$.
Remarque
Extension aux limites latérales et aux intervalles
Ces propriétés restent vraies à droite de $a$, à gauche de $a$ ou sur un intervalle $I$ (en tenant compte des conditions).
Propriété
Continuité des fonctions polynômes, sinus et cosinus
Toute fonction polynôme est continue sur $\mathbb{R}$ ; les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont continues sur $\mathbb{R}$.
Exemple
Trois fonctions continues et leurs intervalles de continuité
$h(x) = \sqrt{x^2 + x + 3}$ est continue sur $\mathbb{R}$ : $x^2 + x + 3$ est un polynôme (continu sur $\mathbb{R}$) et $x^2 + x + 3 \geq 0$ pour tout $x$ (discriminant $\Delta < 0$).
$g(x) = \dfrac{x^4 + x^3 - 6}{x^2 + 2x - 3}$ est continue sur $]-\infty, -3[$, sur $]-3, 1[$ et sur $]1, +\infty[$.
La fonction $\tan$ est continue sur tous les intervalles de la forme $\left]-\dfrac{\pi}{2} + k\pi, \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right[$ ($k \in \mathbb{Z}$).
Théorème
Continuité de la composée de deux fonctions
Soient $f$ définie sur un intervalle $I$ et $g$ définie sur un intervalle $J$ tels que $f(I) \subset J$, et $x_0 \in I$.
Si $f$ est continue en $x_0$ et $g$ continue en $f(x_0)$, alors $g \circ f$ est continue en $x_0$.
Si $f$ est continue sur $I$ et $g$ continue sur $f(I)$, alors $g \circ f$ est continue sur $I$.
Exemple
Fonctions composées continues
$f(x) = \cos(2x^2 - 3x + 4)$ est continue sur $\mathbb{R}$ : $f_1(x) = 2x^2 - 3x + 4$ et $f_2(x) = \cos x$ sont continues sur $\mathbb{R}$, $f_1(\mathbb{R}) \subset \mathbb{R}$, et $f = f_2 \circ f_1$.
$g(x) = \sqrt{\dfrac{x}{1 + \sin^2 x}}$ est continue sur $\mathbb{R}^+$ : $D_g = [0, +\infty[$, $g_1(x) = \dfrac{x}{1 + \sin^2 x}$ est continue sur $\mathbb{R}^+$ avec $g_1(\mathbb{R}^+) = \mathbb{R}^+$, et $g_2(x) = \sqrt{x}$ continue sur $\mathbb{R}^+$, donc $g = g_2 \circ g_1$.
$f(x) = \sin\left(\dfrac{1}{x^2 + 1}\right)$ est continue sur $\mathbb{R}$ ($x \mapsto x^2 + 1$ continue et ne s'annule pas, et $\sin$ continue sur $\mathbb{R}$).
Théorème
Limite de la composée v ∘ u
Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle pointé de centre $x_0$ telle que $\displaystyle\lim_{x \to x_0} u(x) = l$. Si $v$ est continue en $l$, alors $\displaystyle\lim_{x \to x_0} (v \circ u)(x) = v(l)$.
1) $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\pi \tan x}{3x} = \frac{\pi}{3}\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x} = \frac{\pi}{3}$, et $\cos$ est continue en $\dfrac{\pi}{3}$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 0} \cos\left(\frac{\pi \tan x}{3x}\right) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.
2) $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\pi x^2 - 4x + 3}{4x^2 + 7} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\pi x^2}{4x^2} = \frac{\pi}{4}$, et $\sin$ continue, donc la limite $= \sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
3) $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ donc $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{1 - \cos x} = 4$, puis $\sqrt{4} = 2$ ; $\sin$ continue en $2$, donc la limite $= \sin 2$.
Image d’un intervalle par une fonction continue
Exemple
Activité — images de [0,1], [−3,−1] et [−3,1] par f(x) = x² + 2x
Le graphe ci-dessous est celui de $f(x) = x^2 + 2x$. Déterminer graphiquement les images des intervalles $I_1 = [0, 1]$, $I_2 = [-3, -1]$ et $I_3 = [-3, 1]$.
Voir la correction (activité : images de [0,1], [−3,−1], [−3,1])
Comme $f(x) = x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1$ (sommet en $(-1, -1)$) :
Sur $[0, 1]$, $f$ est croissante : $f([0, 1]) = [f(0), f(1)] = [0, 3]$.
Sur $[-3, -1]$, $f$ est décroissante : $f([-3, -1]) = [f(-1), f(-3)] = [-1, 3]$.
Sur $[-3, 1]$ : $m = f(-1) = -1$ et $M = \max(f(-3), f(1)) = \max(3, 3) = 3$, donc $f([-3, 1]) = [-1, 3]$.
Théorème
Image d’un segment : le segment [m, M]
(Admis.) L'image d'un segment $[a, b]$ par une fonction continue est le segment $[m, M]$ où $m = \displaystyle\min_{x \in [a, b]} f(x)$ et $M = \displaystyle\max_{x \in [a, b]} f(x)$.
Propriété
Image d’un segment par une fonction monotone
Si $f$ est continue et croissante sur $[a, b]$, alors $f([a, b]) = [f(a), f(b)]$ ; si $f$ est continue et décroissante sur $[a, b]$, alors $f([a, b]) = [f(b), f(a)]$.
Théorème
L’image d’un intervalle est un intervalle
(Admis.) L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
Remarque
La forme de l’intervalle n’est pas conservée
L'intervalle $I$ et son image $f(I)$ par une fonction continue n'ont pas nécessairement la même forme (ouvert, fermé, borné…).
Propriété
Image d’un intervalle par une fonction strictement monotone
$f$ continue et strictement croissante sur l'intervalle $I$, avec $a \in I$ et $b \in I$ :
Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$. Pour tout $\lambda$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = \lambda$.
Théorème
TVI — cas d’une fonction strictement monotone
Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur $[a, b]$. Pour tout $\lambda$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe un et un seul $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = \lambda$.
Remarque
Reformulation en termes d’équation
Cette propriété peut se reformuler ainsi : « pour tout $\lambda$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = \lambda$ admet une solution unique dans $[a, b]$ ».
Théorème
Corollaire 1 — existence d’une racine quand f(a)·f(b) < 0
Soit $f$ continue sur $[a, b]$. Si $f(a) \times f(b) < 0$, il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = 0$.
Théorème
Corollaire 2 — unicité de la racine si f est strictement monotone
Soit $f$ continue et strictement monotone sur $[a, b]$. Si $f(a) \times f(b) < 0$, il existe un et un seul $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = 0$.
Exemple
Trois racines de 4x³ − 3x − 1/2 = 0
Montrer que l'équation $4x^3 - 3x - \dfrac{1}{2} = 0$ admet une racine dans chacun des intervalles $\left]-1, -\dfrac{1}{2}\right[$ ; $\left]-\dfrac{1}{2}, 0\right[$ et $]0, 1[$.
Voir la correction
Soit $g(x) = 4x^3 - 3x - \dfrac{1}{2}$, continue sur $\mathbb{R}$ (polynôme).
$g(-1) = -\dfrac{3}{2}$ et $g\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{2}$, donc $g\left(-\dfrac{1}{2}\right) \times g(-1) < 0$ : d'après le TVI, il existe $\alpha_1 \in \left]-1, -\dfrac{1}{2}\right[$ tel que $g(\alpha_1) = 0$.
$g(0) = -\dfrac{1}{2}$ et $g\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{2}$, donc $g(0) \times g\left(-\dfrac{1}{2}\right) < 0$ : il existe $\alpha_2 \in \left]-\dfrac{1}{2}, 0\right[$ tel que $g(\alpha_2) = 0$.
$g(0) = -\dfrac{1}{2}$ et $g(1) = \dfrac{1}{2}$, donc $g(1) \times g(0) < 0$ : il existe $\alpha_3 \in ]0, 1[$ tel que $g(\alpha_3) = 0$.
Donc l'équation admet trois racines distinctes, une dans chacun des trois intervalles.
Exemple
Racine unique de x³ + x + 1 = 0 dans ]−1, 0[
Montrer que l'équation $x^3 + x + 1 = 0$ admet une racine unique dans $]-1, 0[$.
Voir la correction
Soit $f(x) = x^3 + x + 1$, continue sur $\mathbb{R}$ (polynôme) donc sur $]-1, 0[$. On a $f(-1) = -1$ et $f(0) = 1$, donc $f(-1) \times f(0) < 0$. De plus $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$ sur $]-1, 0[$, donc $f$ est strictement croissante. D'après le TVI (corollaire 2), l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique dans $]-1, 0[$.
Exercice
Exercice 9 — racine de cos x = x sur [0, π]
Montrer que l'équation $\cos x = x$ admet au moins une racine dans l'intervalle $I = [0, \pi]$.
Voir la correction
$\cos x = x \iff \cos x - x = 0$. On pose $f(x) = \cos x - x$, continue sur $\mathbb{R}$ (différence de deux fonctions continues) donc sur $[0, \pi]$. On a $f(\pi) = -1 - \pi < 0$ et $f(0) = 1 > 0$, donc $f(0) \times f(\pi) < 0$. D'après le TVI, il existe $\alpha \in \,]0, \pi[$ tel que $f(\alpha) = 0$.
Exercice
Exercice 10 — racine de 1 + sin x = x
Montrer que l'équation $1 + \sin x = x$ admet au moins une racine dans l'intervalle $I = \left[\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{2\pi}{3}\right]$.
Voir la correction
$1 + \sin x = x \iff 1 + \sin x - x = 0$. On pose $f(x) = 1 + \sin x - x$, continue sur $\mathbb{R}$ donc sur $I$. On a $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{4 - \pi}{2} > 0$ et $f\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = \dfrac{6 + 3\sqrt{3} - 4\pi}{6} < 0$, donc $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) \times f\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) < 0$. D'après le TVI, il existe $\alpha \in \left]\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{2\pi}{3}\right[$ tel que $f(\alpha) = 0$.
Exercice
Exercice 11 — racine et signe de x³ + x − 1
On considère $f(x) = x^3 + x - 1$. 1) Montrer que $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ sur $\mathbb{R}$.
2) Montrer que $\alpha \in \,]0, 1[$.
3) Étudier le signe de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$.
Voir la correction
1) $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ (polynôme) et $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$, donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. On a $f(\mathbb{R}) = \left]\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x), \lim_{x \to +\infty} f(x)\right[ = \,]-\infty, +\infty[ = \mathbb{R}$, et $0 \in f(\mathbb{R})$. D'après le TVI, $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $\mathbb{R}$.
2) $f$ est continue sur $[0, 1]$, $f(0) = -1$ et $f(1) = 1$ donc $f(0) \times f(1) < 0$, et $f$ strictement croissante sur $[0, 1]$. Donc $\alpha \in \,]0, 1[$.
3) $f$ étant strictement croissante : si $x < \alpha$ alors $f(x) < f(\alpha) = 0$, donc $f(x) < 0$ ; si $x > \alpha$ alors $f(x) > f(\alpha) = 0$, donc $f(x) > 0$.
Fonctions réciproques
Théorème
Existence de la fonction réciproque d’une fonction continue strictement monotone
Soit $f$ une fonction définie, continue et strictement monotone sur un intervalle $I$. Alors $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie de $J = f(I)$ vers $I$ ; $f$ est une bijection de $I$ vers $f(I)$. On a :
$$\begin{cases} f(y) = x \\ y \in I \end{cases} \iff \begin{cases} y = f^{-1}(x) \\ x \in f(I) \end{cases}$$
$$(f \circ f^{-1})(x) = x \ \ \forall x \in f(I) \quad ; \quad (f^{-1} \circ f)(y) = y \ \ \forall y \in I$$
Exemple
Réciproque de f(x) = (x−3)/(x+2) sur ]−2, +∞[
Soit $f(x) = \dfrac{x - 3}{x + 2}$ et $g$ la restriction de $f$ sur $I = \,]-2, +\infty[$. 1) Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ à déterminer.
2) Déterminer $g^{-1}(x)$.
Voir la correction
1) $D_f = \mathbb{R} - \{-2\}$. $f'(x) = \dfrac{(x+2) - (x-3)}{(x+2)^2} = \dfrac{5}{(x+2)^2} > 0$, donc $f$ est strictement croissante et continue sur $]-2, +\infty[$. Donc $g$ admet une réciproque $g^{-1}$ définie sur $J = g(]-2, +\infty[) = \,]-\infty, 1[$.
2) $\begin{cases} g(y) = x \\ y \in \,]-2, +\infty[ \end{cases}$ : $\dfrac{y - 3}{y + 2} = x \iff y - 3 = x(y + 2) \iff y(1 - x) = 2x + 3 \iff y = \dfrac{2x + 3}{1 - x}$. Donc $g^{-1}(x) = \dfrac{2x + 3}{1 - x}$, avec $g^{-1} : \,]-\infty, 1[ \to \,]-2, +\infty[$.
Exercice
Exercice 12 — réciproque de f(x) = √(2x−1) et courbes symétriques
Soit $f$ définie sur $I = \left[\dfrac{1}{2}, +\infty\right[$ par $f(x) = \sqrt{2x - 1}$. 1) Montrer que $f$ admet une réciproque $f^{-1}$ sur un intervalle $J$ à déterminer.
2) Déterminer $f^{-1}(x)$.
3) Représenter $(C_f)$ et $(C_{f^{-1}})$ dans le même repère orthonormé.
Voir la correction
1) $D_f = \left[\dfrac{1}{2}, +\infty\right[ = I$. $f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2x - 1}} > 0$ sur $\left]\dfrac{1}{2}, +\infty\right[$, donc $f$ est strictement croissante et continue sur $I$. Donc $f$ admet une réciproque $f^{-1}$ définie sur $J = f(I) = [0, +\infty[$.
2) $\begin{cases} f(y) = x \\ y \in I \end{cases}$ : $\sqrt{2y - 1} = x \iff 2y - 1 = x^2 \ (x \geq 0) \iff y = \dfrac{x^2 + 1}{2}$. Donc $f^{-1}(x) = \dfrac{x^2 + 1}{2}$, avec $f^{-1} : [0, +\infty[ \to \left[\dfrac{1}{2}, +\infty\right[$.
3) $(C_f)$ et $(C_{f^{-1}})$ sont symétriques par rapport à la droite $(\Delta) : y = x$ :
Propriété
La réciproque a la même monotonie que f
Si $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ de $J = f(I)$ vers $I$, alors $f^{-1}$ a la même monotonie sur $J$ que $f$ sur $I$.
Propriété
Symétrie de (C_f) et (C_{f⁻¹}) par rapport à la droite y = x
Si $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ de $J = f(I)$ vers $I$, alors $(C_{f^{-1}})$ et $(C_f)$ sont symétriques par rapport à la droite $(\Delta) : y = x$.
Remarque
La symétrie porte sur toute la courbe
La symétrie des deux courbes concerne toutes leurs composantes : les asymptotes, les tangentes et demi-tangentes…
La fonction racine n-ième
Définition
Définition de la fonction racine n-ième
Soit $n$ un élément de $\mathbb{N}^*$ ; la fonction $f : x \mapsto x^n$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$. Elle admet donc une fonction réciproque $f^{-1}$ de $f(\mathbb{R}^+) = \mathbb{R}^+$ vers $\mathbb{R}^+$. Cette fonction réciproque s'appelle la fonction racine n-ème et se note $\sqrt[n]{\ }$.
Les courbes de $x \mapsto x^n$ et de $x \mapsto \sqrt[n]{x}$ sont symétriques par rapport à la droite $(\Delta) : y = x$ :
Propriété
Conséquences de la définition de la racine n-ième
La fonction $\sqrt[n]{x}$ est définie sur $\mathbb{R}^+$ et $(\forall x \in \mathbb{R}^+)\ \sqrt[n]{x} \geq 0$.
$(\forall x \in \mathbb{R}^+)(\forall y \in \mathbb{R}^+)\ \sqrt[n]{x} = y \iff x = y^n$.
La fonction $\sqrt[n]{x}$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$.
$(\forall x \in \mathbb{R}^+)(\forall y \in \mathbb{R}^+)\ \sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{y} \iff x = y$.
$(\forall x \in \mathbb{R}^+)(\forall a \in \mathbb{R}^+)\ \sqrt[n]{x} \geq a \iff x \geq a^n$.
$(\forall a \in \mathbb{R}^+)\ \sqrt[n]{x} \leq a \iff 0 \leq x \leq a^n$.
$(\forall x \in \mathbb{R}^+)\ \left(\sqrt[n]{x}\right)^n = \sqrt[n]{x^n} = x$.
$(\forall x \in \mathbb{R}^+)(\forall p \in \mathbb{N})\ \left(\sqrt[n]{x}\right)^p = \sqrt[n]{x^p}$.
3) $x^4 = 3 \iff x = \sqrt[4]{3}$ ou $x = -\sqrt[4]{3}$, donc $S = \{-\sqrt[4]{3} ; \sqrt[4]{3}\}$.
4) $x^6 = -8$ : or $x^6 \geq 0$ et $-8 < 0$, donc $S = \varnothing$.
Formule
Expression conjuguée pour les racines cubiques et quatrièmes
À partir de $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ et $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, on obtient, pour tout $x \in \mathbb{R}^+$ et $y \in \mathbb{R}^{*+}$ :