Nombres complexes 1 : formes algébrique et trigonométrique

Cours sur les nombres complexes (partie 1) 2 Bac SM : ensemble ℂ, affixe, conjugué, module, argument, forme trigonométrique et racines carrées.

Définition

L'ensemble ℂ : définition et vocabulaire

Il existe un ensemble noté $\mathbb{C}$ dont les éléments s'appellent des nombres complexes, qui vérifie $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ et contient un nombre non réel noté $i$ vérifiant $i^2 = -1$. Tout nombre complexe $z$ s'écrit de façon unique comme $z = a + ib$ où $a$ et $b$ sont réels.

Le réel $a$ s'appelle la partie réelle de $z$ : $a = \operatorname{Re}(z)$. Le réel $b$ s'appelle la partie imaginaire de $z$ : $b = \operatorname{Im}(z)$. L'écriture $z = a + ib$ s'appelle l'écriture algébrique du nombre complexe $z$.

Propriété

Soient $z = x + iy$ et $z' = x' + iy'$ avec $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ et $(x', y') \in \mathbb{R}^2$ : $z = z' \Leftrightarrow x = x'$ et $y = y'$.
L'ensemble des nombres complexes n'est pas ordonné.
$\mathbb{R}$ est une partie de $\mathbb{C}$ : $(\forall x \in \mathbb{R})(x = x + 0i)$ et $z \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \operatorname{Im}(z) = 0$.
$i\mathbb{R}$ est une partie de $\mathbb{C}$, appelée ensemble des imaginaires purs : $i\mathbb{R} = \{iy \ / \ y \in \mathbb{R}\}$ et $z \in i\mathbb{R} \Leftrightarrow \operatorname{Re}(z) = 0$.
$\mathbb{R} \cup i\mathbb{R} \subsetneq \mathbb{C}$ et $\mathbb{R} \cap i\mathbb{R} = \{0\}$ (où $\subsetneq$ signifie « inclus strictement »).

Propriété

addition et multiplication

L'addition dans $\mathbb{C}$ est associative et commutative, $0$ est l'élément neutre, et chaque élément $z$ de $\mathbb{C}$ a un symétrique appelé l'opposé de $z$, noté $(-z)$.

La multiplication dans $\mathbb{C}$ est associative et commutative, $1$ est l'élément neutre, et chaque élément $z$ non nul de $\mathbb{C}$ a un symétrique appelé l'inverse de $z$, noté $\dfrac{1}{z}$ ou $z^{-1}$, avec $z \times \dfrac{1}{z} = 1$.

Propriété

Règles de calcul et puissances dans ℂ

En général, les calculs dans $\mathbb{C}$ s'effectuent de la même façon que sur $\mathbb{R}$, en remplaçant $i^2$ par $-1$. On a :

$zz' = 0 \Leftrightarrow z = 0$ ou $z' = 0$
$z^0 = 1$ et $(\forall n \in \mathbb{N}^*)\big(z^n = \underbrace{z \times z \times \dots \times z}_{n \text{ fois}}\big)$
$z^{-n} = \dfrac{1}{z^n}$
$z^{n+m} = z^n \times z^m$ et $z^{n-m} = \dfrac{z^n}{z^m}$
$(z^n)^m = z^{n \times m}$

Formule

Factorisation, somme géométrique et binôme de Newton

$$z^n - z_1^n = (z - z_1)\big(z^{n-1} + z^{n-2} z_1 + \dots + z_1^{n-1}\big)$$

Si $z \neq 1$, alors (somme des termes d'une suite géométrique) :

$$S = 1 + z + z^2 + \dots + z^n = \frac{1 - z^{n+1}}{1 - z}$$

Formule du binôme :

$$(z + z_1)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \, z^k \, z_1^{n-k}$$

Remarque

Lorsque $\operatorname{Im}(z) = 0$, $z = a$ est réel. Lorsque $\operatorname{Re}(z) = 0$, $z = ib$ est appelé imaginaire pur.

Définition

Interprétation géométrique : image et affixe

Le plan $(\mathcal{P})$ est muni du repère orthonormé $\mathcal{R}(O ; \vec{u}, \vec{v})$ ; soit $\mathcal{V}_2$ le plan vectoriel associé à $(\mathcal{P})$. Soit $z = a + ib$ ; le couple $(a, b)$ est associé à un point unique $M$ dans le plan $(\mathcal{P})$.

Le point $M(a, b)$ s'appelle l'image du nombre complexe $z$ dans le plan $(\mathcal{P})$.
Le complexe $z$ s'appelle l'affixe du point $M$ : on écrit $z = \operatorname{aff}(M)$ et $z_M = a + ib$.
Le complexe $z$ s'appelle l'affixe du vecteur $\vec{u}$ : on écrit $z = \operatorname{aff}(\vec{u})$ et $z_{\vec{u}} = a + ib$.
Le plan $(\mathcal{P})$ s'appelle un plan complexe ; l'axe $(O ; \vec{u})$ s'appelle l'axe des réels, l'axe $(O ; \vec{v})$ s'appelle l'axe des imaginaires.
Les complexes $z = a \in \mathbb{R}$ sont représentés sur l'axe des réels ; les complexes $z = ib$ ($b \in \mathbb{R}$) sont des imaginaires purs, représentés sur l'axe des imaginaires purs.

Propriété

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de $\mathcal{V}_2$, $M$ et $N$ deux points de $(\mathcal{P})$ et $\alpha$ un réel :

$\operatorname{aff}(A) = \operatorname{aff}(B) \Leftrightarrow A = B$ et $\operatorname{aff}(\vec{u}) = \operatorname{aff}(\vec{v}) \Leftrightarrow \vec{u} = \vec{v}$
$\operatorname{aff}(\vec{u} + \vec{v}) = \operatorname{aff}(\vec{u}) + \operatorname{aff}(\vec{v})$
$\operatorname{aff}(\alpha \vec{u}) = \alpha \times \operatorname{aff}(\vec{u})$
$\operatorname{aff}(\vec{AB}) = \operatorname{aff}(B) - \operatorname{aff}(A) = z_B - z_A$
Pour un segment $[AB]$ de milieu $I$ : $z_I = \dfrac{z_A + z_B}{2}$
Pour 2 points pondérés $G = \operatorname{Bar}\{(A, \alpha) ; (B, \beta)\}$ : $z_G = \dfrac{\alpha z_A + \beta z_B}{\alpha + \beta}$ ; pour 3 points pondérés $G = \operatorname{Bar}\{(A, \alpha) ; (B, \beta) ; (C, \gamma)\}$ : $z_G = \dfrac{\alpha z_A + \beta z_B + \gamma z_C}{\alpha + \beta + \gamma}$

Proposition

Alignement de trois points

Soient $A$, $B$ et $C$ trois points distincts du plan d'affixes respectifs $z_A$, $z_B$ et $z_C$ :

$$A, B \text{ et } C \text{ sont alignés} \iff \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in \mathbb{R}$$

Définition

Le conjugué d'un nombre complexe

Soient $x$ et $y$ deux réels et $z = x + iy$. Le conjugué du nombre $z$ est le nombre complexe noté $\bar{z}$ défini par $\bar{z} = x - iy$. Les images de $z$ et $\bar{z}$ sont symétriques par rapport à l'axe des réels.

Propriété

Pour $z \in \mathbb{C}$ et $z' \in \mathbb{C}$ :

Si $z = x + iy$ alors $z \times \bar{z} = x^2 + y^2$
$\bar{\bar{z}} = z$
$z - \bar{z} = 2i \operatorname{Im}(z)$ ; $\quad z + \bar{z} = 2 \operatorname{Re}(z)$
$z \in \mathbb{R} \Leftrightarrow z = \bar{z}$ ; $\quad z \in i\mathbb{R} \Leftrightarrow z + \bar{z} = 0$
$\overline{z + z'} = \bar{z} + \bar{z'}$ ; $\quad \overline{z \times z'} = \bar{z} \times \bar{z'}$
$\overline{\left(\dfrac{1}{z}\right)} = \dfrac{1}{\bar{z}}$ si $z \neq 0$ ; $\quad \overline{\left(\dfrac{z'}{z}\right)} = \dfrac{\bar{z'}}{\bar{z}}$ si $z \neq 0$
$\overline{z^n} = (\bar{z})^n$, $n \in \mathbb{Z}$
$\overline{\lambda z} = \lambda \bar{z}$, $\forall z \in \mathbb{C}$ et $\forall \lambda \in \mathbb{R}$

Définition

Le module d'un nombre complexe

Soit $z = x + iy$ un nombre complexe avec $x \in \mathbb{R}$ et $y \in \mathbb{R}$. Le réel positif :

$$|z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{z\bar{z}}$$

s'appelle le module du nombre complexe $z$.

Propriété

Pour tous complexes $z$ et $z'$ et pour tout $n$ dans $\mathbb{N}$ :

$|\bar{z}| = |-z| = |z|$
$|z|^2 = z\bar{z}$ ; $\quad |z| = 1 \Leftrightarrow z\bar{z} = 1$
$|z| = 0 \Leftrightarrow z = 0$
$|z \times z'| = |z| \times |z'|$
$\left|\dfrac{1}{z}\right| = \dfrac{1}{|z|}$ et $\left|\dfrac{z'}{z}\right| = \dfrac{|z'|}{|z|}$ si $z \neq 0$
$|z^n| = |z|^n$ si $z \neq 0$ et $\forall n \in \mathbb{Z}$
$|z + z'| \leq |z| + |z'|$
Si $M$ est l'image du complexe $z$ alors $|z| = OM$ ; si $A$ et $B$ ont pour affixes $z_A$ et $z_B$ alors $\|\vec{AB}\| = AB = |z_B - z_A|$.

Définition

Argument d'un nombre complexe

Le plan complexe est muni d'un repère $(O ; \vec{u}, \vec{v})$ et $z \in \mathbb{C}^*$, $M(z)$ son image. L'argument du nombre complexe $z$ est une mesure (en radian) de l'angle $(\vec{u} ; \vec{OM})$. On le note $\arg(z)$.

Propriété

Pour $z \in \mathbb{C}^*$ et $y \in \mathbb{R}^*$ :

$z \in \mathbb{R}^{-*} \Leftrightarrow \arg z \equiv \pi \ [2\pi]$ ; $\quad z \in \mathbb{R}^{+*} \Leftrightarrow \arg z \equiv 0 \ [2\pi]$
$\arg(iy) \equiv \dfrac{\pi}{2} \ [2\pi]$ si $y > 0$ et $\arg(iy) \equiv -\dfrac{\pi}{2} \ [2\pi]$ si $y < 0$
$\arg(-z) \equiv \pi + \arg z \ [2\pi]$
$\arg \bar{z} \equiv -\arg z \ [2\pi]$

Définition

Forme trigonométrique d'un nombre complexe

Tout nombre complexe non nul $z$ a une écriture de la forme $z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta)$ où $\arg(z) \equiv \theta \ [2\pi]$. Cette écriture s'appelle la forme trigonométrique du nombre complexe non nul $z$.

Si $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ avec $r > 0$, alors $|z| = r$ et $\arg(z) \equiv \theta \ [2\pi]$ ; on écrit $z = [r, \theta]$.

Propriété

Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes non nuls :

$\arg(z \times z') \equiv \arg(z) + \arg(z') \ [2\pi]$ et $[r, \theta] \times [r', \theta'] = [rr', \theta + \theta']$
$\arg\left(\dfrac{1}{z}\right) \equiv -\arg(z) \ [2\pi]$ et $\dfrac{1}{[r, \theta]} = \left[\dfrac{1}{r}, -\theta\right]$
$\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right) \equiv \arg(z) - \arg(z') \ [2\pi]$ et $\dfrac{[r, \theta]}{[r', \theta']} = \left[\dfrac{r}{r'}, \theta - \theta'\right]$
$\arg(z^n) \equiv n \arg(z) \ [2\pi]$ et $[r, \theta]^n = [r^n, n\theta]$
$\arg(-z) \equiv \arg(z) + \pi \ [2\pi]$ et $-[r, \theta] = [r, \pi + \theta]$
$\arg(\bar{z}) \equiv -\arg(z) \ [2\pi]$ et $\overline{[r, \theta]} = [r, -\theta]$

Définition

Racine carrée d'un nombre complexe

On appelle racine carrée d'un complexe $z$ tout complexe $u$ tel que $u^2 = z$.

Propriété

Un complexe non nul admet deux racines carrées. Soit $z = [r, \theta]$ un complexe non nul ; les racines carrées de $[r, \theta]$ sont les complexes :

$$u_1 = \left[\sqrt{r}, \ \frac{\theta}{2}\right] \quad \text{et} \quad u_2 = -u_1$$

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