Nombres complexes 2 : forme exponentielle et applications géométriques

Cours sur les nombres complexes (partie 2) 2 Bac SM : forme exponentielle, formules de Moivre et d'Euler, second degré, racines n-ièmes et transformations.

Propriété

Arguments et angles

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé $(O ; \vec{e_1}, \vec{e_2})$. Soient $M$, $M'$ et $A$, $B$, $C$, $D$ des points distincts d'affixes respectifs $z$, $z'$, $a$, $b$, $c$ et $d$ :

$(\vec{OM} ; \vec{OM'}) \equiv \arg\left(\dfrac{z'}{z}\right) \ [2\pi]$
$(\vec{e_1} ; \vec{AB}) \equiv \arg(b - a) \ [2\pi]$
$(\vec{AB} ; \vec{AC}) \equiv \arg\left(\dfrac{c - a}{b - a}\right) \ [2\pi]$
$(\vec{AB} ; \vec{CD}) \equiv \arg\left(\dfrac{d - c}{b - a}\right) \ [2\pi]$

Propriété

Alignement, parallélisme et orthogonalité

$A(a)$, $B(b)$ et $C(c)$ sont alignés si et seulement si $\arg\left(\dfrac{c - a}{b - a}\right) \equiv 0 \ [2\pi]$.
$(AB) \parallel (CD)$ si et seulement si $\arg\left(\dfrac{a - b}{c - d}\right) \equiv 0 \ [2\pi]$ ou $\arg\left(\dfrac{a - b}{c - d}\right) \equiv \pi \ [2\pi]$.
$(AB) \perp (CD)$ si et seulement si $\arg\left(\dfrac{a - b}{c - d}\right) \equiv \dfrac{\pi}{2} \ [2\pi]$ ou $\arg\left(\dfrac{a - b}{c - d}\right) \equiv -\dfrac{\pi}{2} \ [2\pi]$.

Propriété

cocyclicité

Soit $(C)$ le cercle circonscrit au triangle $ABC$. Le point $D$ appartient au cercle $(C)$ si et seulement si :

$$(\vec{AB} ; \vec{AC}) \equiv (\vec{DB} ; \vec{DC}) \ [2\pi] \quad \text{ou} \quad (\vec{AB} ; \vec{AC}) \equiv \pi - (\vec{DB} ; \vec{DC}) \ [2\pi]$$

Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont cocycliques si et seulement si :

$$\frac{c - a}{b - a} \times \frac{b - d}{c - d} \in \mathbb{R}^*$$

Définition

Forme exponentielle d'un complexe non nul

Soit $\theta$ un réel ; on pose $\cos\theta + i\sin\theta = e^{i\theta}$. Soit $z = [r, \theta]$ un complexe non nul ; on a :

$$z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$$

Cette écriture s'appelle la forme exponentielle.

Formule

Opérations sous forme exponentielle

Soient $z = re^{i\theta}$ et $z' = r'e^{i\theta'}$ :

$$zz' = rr'\,e^{i(\theta + \theta')} \quad ; \quad z^n = r^n e^{in\theta} \quad ; \quad \frac{1}{z'} = \frac{1}{r'}\,e^{-i\theta'}$$ $$\frac{z}{z'} = \frac{r}{r'}\,e^{i(\theta - \theta')} \quad ; \quad \bar{z} = re^{-i\theta} \quad ; \quad -z = re^{i(\pi + \theta)}$$

Formule

Formule de Moivre

Pour tout réel $\theta$ on a $\left(re^{i\theta}\right)^n = r^n\,e^{in\theta}$, d'où :

$$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) \quad \forall n \in \mathbb{N},\ \forall \theta \in \mathbb{R}$$

Formule

Formules d'Euler

Pour tout réel $\theta$ on a :

$$\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \quad ; \quad \sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$$

Pour tout $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$ :

$$e^{i\alpha} + e^{i\beta} = e^{i\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)}\left(e^{i\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)} + e^{-i\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)}\right)$$

(Cette égalité permet de déterminer la forme trigonométrique de la somme de deux complexes de même module.)

Théorème

Équation du second degré dans ℂ

Soit dans $\mathbb{C}$ l'équation $az^2 + bz + c = 0$ $(E)$ où $a$, $b$ et $c$ sont des complexes avec $a \neq 0$, et soit $\Delta = b^2 - 4ac$ son discriminant. On a :

Si $\Delta = 0$, l'équation $(E)$ admet comme solution le complexe $z = \dfrac{-b}{2a}$.
Si $\Delta \neq 0$, l'équation $(E)$ admet comme solutions les complexes $z_1 = \dfrac{-b + \delta}{2a}$ et $z_2 = \dfrac{-b - \delta}{2a}$, où $\delta$ est une racine carrée de $\Delta$.

Remarque

Cas des coefficients réels avec $Δ < 0$

Si les coefficients $a$, $b$ et $c$ sont des réels et $\Delta < 0$, alors l'équation $az^2 + bz + c = 0$ admet deux racines complexes conjuguées :

$$z_1 = \frac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad z_2 = \frac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a}$$

Définition

Racines n-ièmes de l'unité

On appelle racine n-ième de l'unité tout complexe $u$ qui vérifie $u^n = 1$. L'unité admet $n$ racines n-ièmes qui s'écrivent sous la forme :

$$u_k = e^{\frac{2k\pi}{n}\,i} \quad \text{où } k \in \{0, 1, 2, \dots, n-1\}$$

Propriété

Le nombre complexe non nul $a = re^{i\theta}$ admet $n$ racines n-ièmes ($n \in \mathbb{N}^*$) différentes qui sont :

$$u_k = \sqrt[n]{r}\ e^{\frac{\theta + 2k\pi}{n}\,i} \quad \text{où } k \in \{0, 1, 2, \dots, n-1\}$$

Proposition

Écriture complexe de la translation

Soit $\vec{u}$ un vecteur de $\mathcal{V}_2$ tel que $\operatorname{aff}(\vec{u}) = a$. La translation $t_{\vec{u}}$ transforme $M(z)$ en $M'(z')$ si et seulement si $z' = z + a$. Cette égalité s'appelle l'écriture complexe de la translation $t_{\vec{u}}$ de vecteur $\vec{u}$ tel que $\operatorname{aff}(\vec{u}) = a$.

Proposition

Écriture complexe de l'homothétie

L'homothétie de centre $\Omega(\omega)$ et de rapport $k$ admet une écriture complexe de la forme :

$$z' = kz + \omega(1 - k)$$

Proposition

Écriture complexe de la rotation

La rotation de centre $\Omega(\omega)$ et d'angle $\theta$ admet une écriture complexe de la forme :

$$z' = (z - \omega)e^{i\theta} + \omega$$

Méthode

Étude de la transformation z′ = az + b (b ∈ ℂ)

Soit $f$ la transformation qui transforme $M(z)$ en $M'(z')$ tel que $z' = az + b$ ; $b \in \mathbb{C}$.

1er cas : $a = 0$. La transformation $f$ est constante, elle lie chaque point $M(z)$ au point fixe $B(b)$.
2e cas : $a = 1$. $f$ transforme $M(z)$ en $M'(z')$ tel que $z' = z + b$ : c'est une translation de vecteur $\vec{u}$ tel que $\operatorname{aff}(\vec{u}) = b$.
3e cas : $a \in \mathbb{R} - \{0, 1\}$. $f(M(z)) = M'(z') \Leftrightarrow z' = az + b$. Soit $\omega = \dfrac{b}{1 - a}$ : le point $\Omega(\omega)$ est un point invariant par $f$ et $z' - \omega = a(z - \omega)$, ce qui se traduit par $\vec{\Omega M'} = a\,\vec{\Omega M}$ ; donc $f$ est l'homothétie de centre $\Omega(\omega)$ et de rapport $a$, où $\omega = \dfrac{b}{1 - a}$.
4e cas : $a \in \mathbb{C}$ et $|a| = 1$. $\omega = \dfrac{b}{1 - a}$ : $\Omega(\omega)$ est un point invariant par $f$. On pose $a = e^{i\alpha}$ où $\alpha \neq 2k\pi$ (car $a \neq 1$) ; $z' - \omega = a(z - \omega)$ : la transformation $f$ est la rotation de centre $\Omega\left(\dfrac{b}{1 - a}\right)$ et d'angle $\alpha$.
5e cas : $a \in \mathbb{C} - \mathbb{R}$. La transformation plane $f$ qui transforme $M(z)$ en $M'(z')$ tel que $z' = az + b$ est la composée de la rotation $R$ et de l'homothétie $h$ : $f = h \circ R$ où : (1) $R$ est la rotation d'angle $\alpha \equiv \arg(a) \ [2\pi]$ et de centre $\Omega(\omega)$ où $\omega = \dfrac{b}{|a| - a}$ ; (2) $h$ est l'homothétie de rapport $r = |a|$ et de centre $O(0)$.

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