Touchez votre réponse :
**Étape 1 : Calculer $f(1)$**
$$f(1) = 1 + 1 + 1^2 + \ldots + 1^n = \underbrace{1 + 1 + \ldots + 1}_{n+1 \text{ fois}} = n+1$$
**Étape 2 : Calculer $f'(x)$**
$$f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\sum_{k=0}^{n} x^k\right) = \sum_{k=1}^{n} k x^{k-1} = 1 + 2x + 3x^2 + \ldots + nx^{n-1}$$
**Étape 3 : Calculer $f'(1)$**
$$f'(1) = 1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}$$
(formule de la somme des $n$ premiers entiers)
**Étape 4 : Équation de la tangente**
La tangente au point $(1, f(1))$ a pour équation :
$$y - f(1) = f'(1)(x - 1)$$
$$y - (n+1) = \frac{n(n+1)}{2}(x - 1)$$
$$y = \frac{n(n+1)}{2}x - \frac{n(n+1)}{2} + n + 1$$
**Étape 5 : Simplifier l'ordonnée à l'origine**
$$- \frac{n(n+1)}{2} + n + 1 = - \frac{n(n+1)}{2} + \frac{2(n+1)}{2} = \frac{(n+1)(2 - n)}{2} = -\frac{(n-2)(n+1)}{2}$$
**Résultat :**
$$y = \frac{n(n+1)}{2}x - \frac{(n-2)(n+1)}{2}$$
✓ **Réponse a) est correcte**
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