Touchez votre réponse :
**Étape 1 : Formule de la dérivée de la fonction réciproque**
Pour une fonction $f$ dérivable et bijective, la dérivée de $f^{-1}$ en un point $y$ est :
$$(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$$
**Étape 2 : Trouver $f^{-1}(2)$**
On cherche $x$ tel que $f(x) = 2$ :
$$x^3 + 3\ln x + 1 = 2$$
$$x^3 + 3\ln x = 1$$
En testant $x = 1$ :
$$1^3 + 3\ln(1) = 1 + 0 = 1 \quad \checkmark$$
Donc $f^{-1}(2) = 1$
**Étape 3 : Calculer $f'(x)$**
$$f'(x) = 3x^2 + \frac{3}{x}$$
**Étape 4 : Évaluer $f'(1)$**
$$f'(1) = 3(1)^2 + \frac{3}{1} = 3 + 3 = 6$$
**Étape 5 : Appliquer la formule**
$$(f^{-1})'(2) = \frac{1}{f'(f^{-1}(2))} = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{6}$$
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