Touchez votre réponse :
On applique la règle du produit : $f(x) = \frac{1}{1-x} \cdot \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)$
**Étape 1 : Dériver chaque facteur**
Pour $u(x) = \frac{1}{1-x}$ :
$$u'(x) = \frac{0 \cdot (1-x) - 1 \cdot (-1)}{(1-x)^2} = \frac{1}{(1-x)^2}$$
Pour $v(x) = \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)$ :
$$v'(x) = \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{x}{x+1} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{1}{x(x+1)}$$
**Étape 2 : Appliquer la règle du produit**
$$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$
$$f'(x) = \frac{1}{(1-x)^2} \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) + \frac{1}{1-x} \cdot \left(-\frac{1}{x(x+1)}\right)$$
$$f'(x) = \frac{1}{(1-x)^2} \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) - \frac{1}{(1-x) \cdot x(x+1)}$$
**Étape 3 : Simplifier le dénominateur du second terme**
Noter que : $(1-x)(x+1) = x + 1 - x^2 - x = 1 - x^2$
Donc :
$$\frac{1}{(1-x) \cdot x(x+1)} = \frac{1}{x(1-x^2)}$$
**Résultat final :**
$$f'(x) = \frac{1}{(1-x)^2} \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) - \frac{1}{x(1-x^2)}$$
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