QCM de concours

QCM sur espaces vectoriels

Moyen · proposé le 9 septembre 2026

Soient les points $A(1,1,-2)$, $B(0,5,5)$, $C(6,-3,-5)$, $D(1,2,0)$. Le vecteur $\vec{AD}$ appartient-il au plan vectoriel engendré par $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ? Autrement dit, existe-t-il des réels $x$ et $y$ tels que $\vec{AD} = x\vec{AB} + y\vec{AC}$ ?

Touchez votre réponse :

a) Oui, pour $x = \frac{1}{4}$, $y = \frac{1}{8}$

Non — la bonne réponse est b).

b) Oui, pour $x = \frac{5}{16}$, $y = \frac{1}{16}$

Correct.

c) Oui, pour $x = \frac{1}{2}$, $y = \frac{1}{2}$

Non — la bonne réponse est b).

d) Non, car $\vec{AD}$ n'est pas une combinaison linéaire de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$

Non — la bonne réponse est b).

e) Aucune des réponses n'est juste

Non — la bonne réponse est b).

Correction étape par étape

**Étape 1 : Calculer les vecteurs**

$\vec{AB} = B - A = (0-1, 5-1, 5-(-2)) = (-1, 4, 7)$

$\vec{AC} = C - A = (6-1, -3-1, -5-(-2)) = (5, -4, -3)$

$\vec{AD} = D - A = (1-1, 2-1, 0-(-2)) = (0, 1, 2)$

**Étape 2 : Poser l'équation vectorielle**

On cherche $x$ et $y$ tels que :
$$\vec{AD} = x\vec{AB} + y\vec{AC}$$

$$(0, 1, 2) = x(-1, 4, 7) + y(5, -4, -3)$$

**Étape 3 : Système de trois équations**

Cela donne :
$$\begin{cases}
-x + 5y = 0 & (1)\\
4x - 4y = 1 & (2)\\
7x - 3y = 2 & (3)
\end{cases}$$

**Étape 4 : Résoudre**

De l'équation (1) : $x = 5y$

Substituer dans (2) : $4(5y) - 4y = 1 \Rightarrow 20y - 4y = 1 \Rightarrow 16y = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{16}$

Donc : $x = 5 \times \frac{1}{16} = \frac{5}{16}$

**Étape 5 : Vérifier avec l'équation (3)**

$7 \times \frac{5}{16} - 3 \times \frac{1}{16} = \frac{35}{16} - \frac{3}{16} = \frac{32}{16} = 2$ ✓

**Conclusion : La réponse b) est correcte**

Rédigée par l'outil Solutions pas à pas — collez vos propres exercices pour obtenir la même chose.

Tous les QCM du jour S'entraîner sur espaces vectoriels