QCM sur fonction logarithme

Pour trouver le domaine de $g \circ f$, on compose : $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = \sqrt{\ln(x-1) + 1}$.

**Étape 1 :** $f(x) = \ln(x-1)$ existe si et seulement si $x - 1 > 0$, donc $x > 1$.

**Étape 2 :** Pour que $g(f(x))$ existe, il faut que $f(x)$ soit dans le domaine de $g$.

Le domaine de $g(u) = \sqrt{u+1}$ nécessite $u + 1 \geq 0$, soit $u \geq -1$.

**Étape 3 :** On doit donc avoir $f(x) \geq -1$, c'est-à-dire :
$$\ln(x-1) \geq -1$$

**Étape 4 :** En exponentiant les deux membres (fonction exponentielle croissante) :
$$x - 1 \geq e^{-1} = \frac{1}{e}$$
$$x \geq 1 + \frac{1}{e}$$

**Étape 5 :** On combine avec la condition $x > 1$ de l'étape 1. Puisque $1 + \frac{1}{e} \approx 1{,}368 > 1$, la condition la plus restrictive est $x \geq 1 + \frac{1}{e}$.

**Domaine de $g \circ f$ :** $\boxed{\left[1 + \frac{1}{e}, +\infty\right[}$