QCM sur fonction logarithme

Pour que $f(x) = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ soit définie, nous devons considérer la fonction puissance réelle $u^x$ où $u = 1 + \frac{1}{x}$.

**Condition 1 : Existence de la base**
$1 + \frac{1}{x}$ doit exister, donc $x \neq 0$.

**Condition 2 : Validité de $u^x$ en tant que fonction réelle**
Pour que $u^x = e^{x \ln u}$ soit définie dans $\mathbb{R}$, on doit avoir :
$$u = 1 + \frac{1}{x} > 0$$

Résolvons cette inéquation :
$$1 + \frac{1}{x} > 0$$
$$\frac{x + 1}{x} > 0$$

Tableau de signes :
- Numérateur $x + 1 = 0$ quand $x = -1$
- Dénominateur $x = 0$

| Intervalle | $x + 1$ | $x$ | $\frac{x+1}{x}$ |
|---|---|---|---|
| $]-\infty, -1[$ | $-$ | $-$ | $+$ |
| $]-1, 0[$ | $+$ | $-$ | $-$ |
| $]0, +\infty[$ | $+$ | $+$ | $+$ |

Donc $\frac{x+1}{x} > 0$ pour $x \in ]-\infty, -1[ \cup ]0, +\infty[$

$$D_f = ]-\infty, -1[ \cup ]0, +\infty[$$