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Pour que $f(x) = \frac{1}{x-1}\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)$ soit définie, nous devons satisfaire simultanément :
**Condition 1** : Le dénominateur $x - 1 \neq 0$
$$x \neq 1$$
**Condition 2** : L'argument du logarithme doit être strictement positif
$$1 + \frac{1}{x} > 0$$
Résolvons cette inéquation :
$$\frac{x + 1}{x} > 0$$
Le quotient est positif lorsque numérateur et dénominateur ont le même signe :
- Si $x > 0$ et $x + 1 > 0$ : alors $x > 0$ ✓
- Si $x < 0$ et $x + 1 < 0$ : alors $x < -1$ ✓
Donc : $1 + \frac{1}{x} > 0 \Rightarrow x \in ]-\infty, -1[ \cup ]0, +\infty[$
**Intersection des conditions** :
$$\left(]-\infty, -1[ \cup ]0, +\infty[\right) \cap (\mathbb{R} \setminus \{1\})
= ]-\infty, -1[ \cup ]0, 1[ \cup ]1, +\infty[$$
Car il faut exclure $x = 1$ de l'intervalle $]0, +\infty[$.
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