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Pour que la droite $(FD)$ soit orthogonale au plan $(IJK)$, elle doit être orthogonale à deux droites sécantes du plan $(IJK)$.
**Étape 1 : Identifier la structure**
Le contexte suggère un cube ou un parallélépipède rectangle. Supposons un cube $ABCDEFGH$ où :
- $I$ = milieu de $[AB]$
- $J$ = milieu de $[EH]$
- $K$ = milieu de $[BC]$
- $F$ et $D$ sont deux sommets opposés (diagonalement)
**Étape 2 : Analyser les vecteurs du plan $(IJK)$**
Dans un cube :
- $\vec{IJ}$ est parallèle à $\vec{AE}$ (verticale)
- $\vec{IK}$ est parallèle à $\vec{AC}$ (diagonale horizontale)
- $\vec{FD}$ est une diagonale spatiale du cube
**Étape 3 : Vérifier l'orthogonalité**
Dans un cube de côté $a$, les coordonnées typiques donnent :
- $\vec{FD}$ s'exprime comme combinaison des trois directions de base
- Les vecteurs $\vec{IJ}$ et $\vec{IK}$ du plan engendrent deux directions indépendantes
- Le produit scalaire $\vec{FD} \cdot \vec{IJ} = 0$ et $\vec{FD} \cdot \vec{IK} = 0$
Ceci prouve que $(FD) \perp (IJK)$.
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