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Étude de fonction

Domaine, limites, branches infinies, dérivée, tableau de variations, tangente, fonction réciproque et courbe. Calcul exact, gratuit.

x + 1 - ln(e^x - x) (x-2)e^x + x x - 1 + 2ln(x) (x^2-1)/(x-2) x^3 - 3x + 2 sqrt(x+1)
Solution
\( f(x) = x - \ln{\left(e^{x} - x \right)} + 1 \)

Domaine de définition

\( f(x) \) existe si et seulement si :
\( e^{x} - x > 0 \)
Soit \( g \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par :
\( g(x) = e^{x} - x \)
On a :
\( g'(x) = e^{x} - 1 \)
\( g'(x) = 0 \iff x = 0 \)
\[ \begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & 0 & & +\infty \\ \hline g'(x) & & - & 0 & + & \\ \hline \vphantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{1}} g(x) & +\infty & \Large\searrow & 1 & \Large\nearrow & +\infty \end{array} \]
\( g\left(0\right) = 1 \)
D'où :
\( \left(\forall x \in \mathbb{R}\right)\quad g(x) > 0 \)
D'où :
\( D_f = \mathbb{R} \)

Parité

On a :
\( \left(\forall x \in D_f\right)\quad f(-x) = 1 - \ln{\left(x e^{x} + 1 \right)} \)
Donc la fonction f n'est ni paire ni impaire.

Limites aux bornes

On a :
\( \displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \)
\( \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1 \)

Branches infinies

On a :
\( \displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \)
\( \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{f(x)}{x} = 1 \)
\( \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left(f(x) - x\right) = -\infty \)
Donc la courbe \( (C_f) \) admet une branche parabolique de direction la droite d'équation \( y = x \) au voisinage de \( -\infty \).
On a :
\( \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1 \)
Donc la droite d'équation \( y = 1 \) est une asymptote horizontale à la courbe \( (C_f) \) au voisinage de \( +\infty \).

Dérivée

\( \left(\forall x \in D_f\right)\quad f'(x) = \frac{x - 1}{x - e^{x}} \)

Signe de f′

On a :
\( f'(x) = 0 \iff x = 1 \)
\[ \begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & 1 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \end{array} \]
D'où :
\( f \) est croissante sur \( \left]-\infty\,;\,1\right] \)
\( f \) est décroissante sur \( \left[1\,;\,+\infty\right[ \)

Tableau de variations

\[ \begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & 1 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline \vphantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{1}} f(x) & -\infty & \Large\nearrow & 2 - \ln{\left(e - 1 \right)} & \Large\searrow & 1 \end{array} \]
\( f \) admet un maximum local en \( x = 1 \) : \( f(1) = 2 - \ln{\left(e - 1 \right)} \).

Position de la courbe par rapport à ses asymptotes

Soit \( (D) \) la droite d'équation \( y = 1 \). On étudie le signe de \( f(x) - \left(1\right) \) :
\( f(x) - \left(1\right) = x - \ln{\left(e^{x} - x \right)} \)
Soit \( h \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par :
\( h(x) = x - \ln{\left(e^{x} - x \right)} \)
On a :
\( h'(x) = \frac{x - 1}{x - e^{x}} \)
\( h'(x) = 0 \iff x = 1 \)
\[ \begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & 1 & & +\infty \\ \hline h'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline \vphantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{1}} h(x) & -\infty & \Large\nearrow & 1 - \ln{\left(e - 1 \right)} & \Large\searrow & 0 \end{array} \]
\( h\left(0\right) = 0 \)
\( h\left(1\right) = 1 - \ln{\left(e - 1 \right)} \approx 0{,}46 \)
D'où :
\( \left(\forall x \in \left]-\infty\,;\,0\right]\right)\quad h(x) \leq 0 \)
\( \left(\forall x \in \left[0\,;\,+\infty\right[\right)\quad h(x) \geq 0 \)
\[ \begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & 0 & & +\infty \\ \hline f(x) - \left(1\right) & & - & 0 & + & \end{array} \]
D'où :
\( (C_f) \) est en dessous de \( (D) \) sur \( \left]-\infty\,;\,0\right[ \)
\( (C_f) \) est au-dessus de \( (D) \) sur \( \left]0\,;\,+\infty\right[ \)
\( (C_f) \) coupe \( (D) \) au point d'abscisse \( x = 0 \)

Points d'intersection avec les axes

L'équation \( f(x) = 0 \) ne se résout pas par le calcul : on lit le tableau de variations.
\( f \) est continue et strictement croissante sur \( \left]-\infty\,;\,1\right[ \), et \( f\left(\left]-\infty\,;\,1\right[\right) = \left]-\infty\,;\,2 - \ln{\left(e - 1 \right)}\right[ \), qui contient \( 0 \).
Donc l'équation \( f(x) = 0 \) admet une unique solution \( \alpha \) dans \( \left]-\infty\,;\,1\right[ \).
De plus \( f(-0{,}79) < 0 \text{ et } f(-0{,}78) > 0 \), donc \( -0{,}79 < \alpha < -0{,}78 \).
Alors la courbe \( (C_f) \) coupe l'axe des abscisses en un point : \( A\left(\alpha\,;\,0\right) \).
On calcule \( f(0) \) :
\( f(0) = 1 \)
Alors la courbe \( (C_f) \) coupe l'axe des ordonnées en \( B\left(0\,;\,1\right) \).

Signe de f(x)

\[ \begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & \alpha & & +\infty \\ \hline f(x) & & - & 0 & + & \end{array} \]
D'où :
\( \left(\forall x \in \left]-\infty\,;\,\alpha\right]\right)\quad f(x) \leq 0 \)
\( \left(\forall x \in \left[\alpha\,;\,+\infty\right[\right)\quad f(x) \geq 0 \)

Courbe représentative

−2−112−2−11maxA
La tangente au point d'abscisse \( x = 1 \) est horizontale, d'équation \( y = 2 - \ln{\left(e - 1 \right)} \).

Fonction réciproque

\( f \) est continue et strictement croissante sur \( \left]-\infty\,;\,1\right] \).
Donc la restriction de \( f \) à \( \left]-\infty\,;\,1\right] \) admet une fonction réciproque, définie sur l'intervalle \( J = f\left(\left]-\infty\,;\,1\right]\right) = \left]-\infty\,;\,2 - \ln{\left(e - 1 \right)}\right] \).
\( f \) est continue et strictement décroissante sur \( \left[1\,;\,+\infty\right[ \).
Donc la restriction de \( f \) à \( \left[1\,;\,+\infty\right[ \) admet une fonction réciproque, définie sur l'intervalle \( J = f\left(\left[1\,;\,+\infty\right[\right) = \left]1\,;\,2 - \ln{\left(e - 1 \right)}\right] \).
Dans un repère orthonormé, les courbes d'une fonction et de sa réciproque sont symétriques par rapport à la droite \( (\Delta) : y = x \).

Tangente en un point

L'équation de la tangente au point de votre choix : 0, 1, e, 1/2…