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Étude de fonction

Domaine, limites, branches infinies, dérivée, tableau de variations, tangente, fonction réciproque et courbe. Calcul exact, gratuit.

x + 1 - ln(e^x - x) (x-2)e^x + x x - 1 + 2ln(x) (x^2-1)/(x-2) x^3 - 3x + 2 sqrt(x+1)
Solution
\( f(x) = x + 2 \ln{\left(x \right)} - 1 \)

Domaine de définition

\( D_f = \left]0\,;\,+\infty\right[ \)

Parité

On a :
\( D_f \) n'est pas symétrique par rapport à \( 0 \)
Donc la fonction f n'est ni paire ni impaire : son domaine n'est pas symétrique par rapport à 0.

Limites aux bornes

On a :
\( \displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty \)
\( \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \)

Branches infinies

On a :
\( \displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty \)
Donc la droite d'équation \( x = 0 \) est une asymptote verticale à la courbe \( (C_f) \).
On a :
\( \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \)
\( \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = 1 \)
\( \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(f(x) - x\right) = +\infty \)
Donc la courbe \( (C_f) \) admet une branche parabolique de direction la droite d'équation \( y = x \) au voisinage de \( +\infty \).

Dérivée

\( \left(\forall x \in D_f\right)\quad f'(x) = \frac{x + 2}{x} \)

Signe de f′

On a :
\( f'(x) \neq 0 \text{ sur } D_f \)
\[ \begin{array}{c|ccc} x & 0 & & +\infty \\ \hline f'(x) & \| & + & \end{array} \]
D'où :
\( f \) est croissante sur \( \left]0\,;\,+\infty\right[ \)

Tableau de variations

\[ \begin{array}{c|ccc} x & 0 & & +\infty \\ \hline f'(x) & \| & + & \\ \hline \vphantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{1}} f(x) & -\infty & \Large\nearrow & +\infty \end{array} \]

Concavité et points d'inflexion

\( \left(\forall x \in D_f\right)\quad f''(x) = - \frac{2}{x^{2}} \)
\[ \begin{array}{c|ccc} x & 0 & & +\infty \\ \hline f''(x) & \| & - & \\ \hline (C_f) & & \cap & \end{array} \]
D'où :
\( (C_f) \) est concave sur \( \left]0\,;\,+\infty\right[ \)

Points d'intersection avec les axes

L'équation \( f(x) = 0 \) ne se résout pas par le calcul : on lit le tableau de variations.
\( f(1) = 0 \)
Alors la courbe \( (C_f) \) coupe l'axe des abscisses en un point : \( A\left(1\,;\,0\right) \).

Signe de f(x)

\[ \begin{array}{c|ccccc} x & 0 & & 1 & & +\infty \\ \hline f(x) & \| & - & 0 & + & \end{array} \]
D'où :
\( \left(\forall x \in \left]0\,;\,1\right]\right)\quad f(x) \leq 0 \)
\( \left(\forall x \in \left[1\,;\,+\infty\right[\right)\quad f(x) \geq 0 \)

Courbe représentative

−0.50.511.5−6−4−22A

Fonction réciproque

\( f \) est continue et strictement croissante sur \( \left]0\,;\,+\infty\right[ \).
Donc \( f \) admet une fonction réciproque \( f^{-1} \), définie sur l'intervalle \( J = f\left(\left]0\,;\,+\infty\right[\right) = \mathbb{R} \).
Dans un repère orthonormé, les courbes d'une fonction et de sa réciproque sont symétriques par rapport à la droite \( (\Delta) : y = x \).

Tangente en un point

L'équation de la tangente au point de votre choix : 0, 1, e, 1/2…