On note \( z \) le nombre étudié :
\[ z = \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2} + \dfrac{i \left(-1 + \sqrt{3}\right)}{2} \]
On calcule le module :
\[ \left|z\right| = \sqrt{\left(\dfrac{1 + \sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{-1 + \sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{2} \]
On met le module en facteur :
\[ z = \sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + i\,\dfrac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}\right) \]
Ce qui reste entre parenthèses est \( \cos\theta + i\sin\theta \) :
\[ \cos\theta = \dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \quad ; \quad \sin\theta = \dfrac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \]
donc \( \theta = \frac{\pi}{12} \).
D'où la forme trigonométrique :
\[ z = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)\right) = \left[\sqrt{2}\,;\,\frac{\pi}{12}\right] \]