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Nombres complexes

Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle, équations, racines n-ièmes et géométrie des affixes. Calcul exact, gratuit.

(1+i√3)/(1+i) z^2-(3+i)z+2+2i = 0 z^3 = 8 (1+i)^10 z' = (1+i)z - i A(1+5i) ; E(1) ; F(-1+i) A(2+i) ; B(2-i) ; C(i) ; D(-i)
Géométrie des affixes
\( A\left(1 + 5 i\right) \quad ; \quad E\left(1\right) \quad ; \quad F\left(-1 + i\right) \)
Réponse
Le triangle AEF est rectangle en F.

Dans le plan complexe

ReIm−2224AEF

Distances

On calcule les distances : \[ AE = 5 \quad ; \quad AF = 2 \sqrt{5} \quad ; \quad EF = \sqrt{5} \]

Alignement

On forme le rapport des affixes : \[ \dfrac{e - a}{f - a} = 1 + \dfrac{i}{2} \]
Ce rapport n'est ni réel ni imaginaire pur : les points ne sont ni alignés ni en angle droit en \( A \).

Nature du triangle

On calcule les trois longueurs : \[ AE = 5 \quad ; \quad AF = 2 \sqrt{5} \quad ; \quad EF = \sqrt{5} \]
On forme le rapport au sommet \( F \), dont le module donne \( \dfrac{FA}{FE} \) et dont l'argument donne l'angle en \( F \) : \[ \dfrac{a - f}{e - f} = 2 i \]
soit : \[ \left|\dfrac{a - f}{e - f}\right| = 2 \quad ; \quad \arg\left(\dfrac{a - f}{e - f}\right) \equiv \frac{\pi}{2} \ \left[2\pi\right] \]
Le triangle AEF est rectangle en F.