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Suites numériques

Premiers termes, nature, terme général, monotonie, limite et somme. Calcul exact, gratuit.

u(n+1) = 2u(n) + 3 ; u0 = 2 u(n+1) = (4u(n)-6)/(u(n)-1) ; u0 = 0 u(n+1) = (3u(n)-1)/(u(n)+1) ; u0 = 3 u(n+1) = u(n) + 5 ; u0 = 1 u_n = (3n+1)/(n+2)
Solution
\( u_{n+1} = \dfrac{3 u_{n} - 1}{u_{n} + 1} \quad ; \quad u_{0} = 3 \)

1Premiers termes

On calcule de proche en proche :
\[ \begin{array}{c|c|c}\hline n & u_n & \approx \\\hline 0 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & \dfrac{5}{3} & 1{,}667 \\ 3 & \dfrac{3}{2} & 1{,}5 \\ 4 & \dfrac{7}{5} & 1{,}4 \\ 5 & \dfrac{4}{3} & 1{,}333 \\\hline\end{array} \]

2Monotonie

On étudie le signe de la différence : \[ u_{n+1} - u_n = \dfrac{- u_{n}^{2} + 2 u_{n} - 1}{u_{n} + 1} \]
Or \( 1 \leq u_n \leq 3 \), donc \[ u_{n+1} - u_n \leq 0 \]
Donc \( (u_n) \) est décroissante.

3Nature de la suite

La suite \( (u_n) \) n'est ni arithmétique ni géométrique.

4Terme général

On se ramène à une suite arithmétique grâce au point fixe.
On cherche les points fixes, solutions de \( x = f(x) \) : \[ x = \dfrac{3 x - 1}{x + 1} \iff x^{2} - 2 x + 1 = 0 \]
\[ \ell = 1 \] (point fixe double)
On pose alors : \[ v_n = \dfrac{1}{u_n - 1} \]
\[ v_{n+1} = v_n + \frac{1}{2} \] donc \( (v_n) \) est arithmétique de raison \( r = \frac{1}{2} \).
Comme \( v_{0} = \dfrac{1}{2} \) : \[ v_n = \dfrac{n + 1}{2} \]
On en tire \( u_n \), donc pour tout \( n \geq 0 \) : \[ u_n = \dfrac{n + 3}{n + 1} \]

5Convergence et limite

\( (u_n) \) est décroissante et minorée : \[ u_n \geq 1 \] donc elle converge, par le théorème de la convergence monotone.
\[ \displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 1 \]
La suite \( (u_n) \) converge vers \( 1 \).

6Somme des premiers termes

La somme se calcule sur la suite auxiliaire, qui est celle dont on connaît la nature : \( v_n = \dfrac{1}{u_n - 1} \)
On a \( (v_n) \) arithmétique de raison \( r = \frac{1}{2} \), donc : \[ S_n = \dfrac{n + 1}{2}\left(v_{0} + v_n\right) \]
En remplaçant : \[ S_n = \dfrac{n^{2}}{4} + \dfrac{3 n}{4} + \dfrac{1}{2} \]
\( \displaystyle S_n = \sum_{k=0}^{n} v_k = \dfrac{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}{4} \)