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Suites numériques

Premiers termes, nature, terme général, monotonie, limite et somme. Calcul exact, gratuit.

u(n+1) = 2u(n) + 3 ; u0 = 2 u(n+1) = (4u(n)-6)/(u(n)-1) ; u0 = 0 u(n+1) = (3u(n)-1)/(u(n)+1) ; u0 = 3 u(n+1) = u(n) + 5 ; u0 = 1 u_n = (3n+1)/(n+2)
Solution
\( u_{n+1} = \dfrac{4 u_{n} - 6}{u_{n} - 1} \quad ; \quad u_{0} = 0 \)

1Premiers termes

On calcule de proche en proche :
\[ \begin{array}{c|c|c}\hline n & u_n & \approx \\\hline 0 & 0 & 0 \\ 1 & 6 & 6 \\ 2 & \dfrac{18}{5} & 3{,}6 \\ 3 & \dfrac{42}{13} & 3{,}231 \\ 4 & \dfrac{90}{29} & 3{,}103 \\ 5 & \dfrac{186}{61} & 3{,}049 \\\hline\end{array} \]

2Monotonie

On étudie le signe de la différence : \[ u_{n+1} - u_n = \dfrac{- u_{n}^{2} + 5 u_{n} - 6}{u_{n} - 1} \]
Or \( 3 \leq u_n \leq 6 \), donc \[ u_{n+1} - u_n \leq 0 \]
Donc \( (u_n) \) est décroissante à partir du rang \( n = 1 \).

3Nature de la suite

La suite \( (u_n) \) n'est ni arithmétique ni géométrique.

4Terme général

On se ramène à une suite géométrique grâce au point fixe.
On cherche les points fixes, solutions de \( x = f(x) \) : \[ x = \dfrac{4 x - 6}{x - 1} \iff x^{2} - 5 x + 6 = 0 \]
\[ \ell_1 = 2 \quad ; \quad \ell_2 = 3 \]
On pose alors : \[ v_n = \dfrac{u_n - 2}{u_n - 3} \]
\[ v_{n+1} = 2\,v_n \] donc \( (v_n) \) est géométrique de raison \( q = 2 \).
Comme \( v_{0} = \dfrac{2}{3} \) : \[ v_n = \dfrac{2}{3} \times 2^{n} \]
On en tire \( u_n \), donc pour tout \( n \geq 0 \) : \[ u_n = \dfrac{6 \left(2^{n} - 1\right)}{2^{n + 1} - 3} \]

5Convergence et limite

\( (u_n) \) est décroissante et minorée : \[ u_n \geq 3 \] donc elle converge, par le théorème de la convergence monotone.
\[ \displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 3 \]
La suite \( (u_n) \) converge vers \( 3 \).

6Somme des premiers termes

La somme se calcule sur la suite auxiliaire, qui est celle dont on connaît la nature : \( v_n = \dfrac{u_n - 2}{u_n - 3} \)
On a \( (v_n) \) géométrique de raison \( q = 2 \), donc : \[ S_n = v_{0} \times \dfrac{1 - q^{n + 1}}{1 - q} \]
En remplaçant : \[ S_n = \dfrac{4 \cdot 2^{n}}{3} - \dfrac{2}{3} \]
\( \displaystyle S_n = \sum_{k=0}^{n} v_k = \dfrac{4 \cdot 2^{n}}{3} - \dfrac{2}{3} \)