La somme se calcule sur la suite auxiliaire, qui est celle dont on
connaît la nature : \( v_n = u_n + 3 \)
On a \( (v_n) \) géométrique de raison \( q = 2 \), donc :
\[ S_n = v_{0} \times \dfrac{1 - q^{n + 1}}{1 - q} \]
En remplaçant :
\[ S_n = 10 \cdot 2^{n} - 5 \]
\( \displaystyle S_n = \sum_{k=0}^{n} v_k = 10 \cdot 2^{n} - 5 \)
Or \( u_k = v_k + \ell \) avec \( \ell = -3 \), donc en sommant :
\[ \displaystyle\sum_{k=0}^{n} u_k = \sum_{k=0}^{n} v_k + \left(n + 1\right)\ell \]
En remplaçant :
\[ \displaystyle\sum_{k=0}^{n} u_k = 10 \cdot 2^{n} - 3 n - 8 \]
\( \displaystyle S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k = 10 \cdot 2^{n} - 3 n - 8 \)