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Suites numériques

Premiers termes, nature, terme général, monotonie, limite et somme. Calcul exact, gratuit.

u(n+1) = 2u(n) + 3 ; u0 = 2 u(n+1) = (4u(n)-6)/(u(n)-1) ; u0 = 0 u(n+1) = (3u(n)-1)/(u(n)+1) ; u0 = 3 u(n+1) = u(n) + 5 ; u0 = 1 u_n = (3n+1)/(n+2)
Solution
\( u_n = \dfrac{3 n + 1}{n + 2} \)

1Premiers termes

On calcule de proche en proche :
\[ \begin{array}{c|c|c}\hline n & u_n & \approx \\\hline 0 & \dfrac{1}{2} & 0{,}5 \\ 1 & \dfrac{4}{3} & 1{,}333 \\ 2 & \dfrac{7}{4} & 1{,}75 \\ 3 & 2 & 2 \\ 4 & \dfrac{13}{6} & 2{,}167 \\ 5 & \dfrac{16}{7} & 2{,}286 \\\hline\end{array} \]

2Monotonie

On étudie le signe de la différence : \[ u_{n+1} - u_n = \dfrac{5}{n^{2} + 5 n + 6} \]
Donc \( (u_n) \) est croissante.

3Nature de la suite

\[ u_{n+1} - u_n = \dfrac{5}{n^{2} + 5 n + 6} \]
\[ \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{3 n^{2} + 10 n + 8}{3 n^{2} + 10 n + 3} \]
La suite \( (u_n) \) n'est ni arithmétique ni géométrique.

4Convergence et limite

\( (u_n) \) est croissante et majorée : \[ u_n \leq 3 \] donc elle converge, par le théorème de la convergence monotone.
\[ \displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 3 \]
La suite \( (u_n) \) converge vers \( 3 \).