Cours sur les fonctions primitives et le calcul intégral 2 Bac SM : tableau des primitives usuelles, intégrale, propriétés, valeur moyenne, intégration par parties, changement de variable, aires, volumes et Riemann.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On dit que la fonction $F$ est une fonction primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $I$ si :
Si $f$ est continue sur $I$, alors $f$ admet une fonction primitive sur $I$.
Si $f$ admet une fonction primitive $F$ sur $I$, alors toutes les fonctions primitives de $f$ sur $I$ s'écrivent sous la forme $F + \lambda$ où $\lambda$ est un réel.
Si $F_1$ et $F_2$ sont deux fonctions primitives d'une fonction $f$ sur $I$, alors $(\forall x \in I)(F_2(x) = F_1(x) + \lambda)$ où $\lambda \in \mathbb{R}$.
Si $f$ admet une fonction primitive sur $I$ et $x_0 \in I$, alors il existe une unique fonction primitive $F_0$ de $f$ telle que $F_0(x_0) = y_0$, où $y_0$ est un réel quelconque.
Si $F$ est une fonction primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $I$ et $G$ une fonction primitive de la fonction $g$ sur l'intervalle $I$ et $\alpha$ un réel, alors :
Les seules opérations sur les fonctions primitives sont la somme et le produit par un réel. Mais grâce au tableau des opérations sur les fonctions dérivées, on peut en déduire :
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \textbf{La fonction} & \textbf{Sa fonction primitive} \\ \hline u' + v' & u + v + C^{te} \\ \hline \alpha u' & \alpha u + C^{te} \\ \hline u'u^n \ (n \in \mathbb{N}) & \dfrac{1}{n+1}\,u^{n+1} + C^{te} \\ \hline \dfrac{u'}{u^2} & \dfrac{-1}{u} + C^{te} \\ \hline \dfrac{u'}{2\sqrt{u}} & \sqrt{u} + C^{te} \\ \hline u'\sqrt[n]{u} \ (n \in \mathbb{N}^*) & \dfrac{n}{n+1}\sqrt[n]{u^{n+1}} + C^{te} \\ \hline u'u^r \ (r \in \mathbb{Q}\setminus\{-1\}) & \dfrac{1}{r+1}\,u^{r+1} + C^{te} \\ \hline u' \times (v'\circ u) & (v \circ u) + C^{te} \\ \hline \dfrac{u'}{u^2+1} & \arctan(u) + C \\ \hline \end{array}$$Si $t = \tan\left(\dfrac{x}{2}\right)$, on a :
$$\sin x = \frac{2t}{1 + t^2} \quad ; \quad \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \quad ; \quad \tan x = \frac{2t}{1 - t^2}$$Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, $a$ et $b$ deux éléments de $I$, et $F$ une fonction primitive de $f$ sur $I$. Le nombre $F(b) - F(a)$ s'appelle l'intégrale de la fonction $f$ entre $a$ et $b$ :
$$\int_a^b f(x)\,dx = \big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a)$$Le réel $a$ s'appelle la borne inférieure de l'intégrale et le réel $b$ la borne supérieure.
Remarque : la variable $t$ (ou $x$) est une variable muette, on peut la changer par n'importe quelle variable.
Toute fonction continue sur $[a, b]$ est intégrable sur $[a, b]$, c'est-à-dire que $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ existe et est finie.
Soient $f$, $g$ et $f'$ des fonctions continues sur un intervalle $I$, $a$, $b$ et $c$ trois éléments de $I$ et $\alpha$ un réel :
$$\int_a^b f'(x)\,dx = \big[f(x)\big]_a^b = f(b) - f(a) \quad ; \quad \int_a^b \alpha\,dx = \big[\alpha x\big]_a^b = \alpha(b - a)$$ $$\int_a^a f(x)\,dx = 0 \quad ; \quad \int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$$ $$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx \quad \text{(relation de Chasles)}$$ $$\int_a^b (f + g)(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx \quad \text{(linéarité)}$$ $$\int_a^b (\alpha f)(x)\,dx = \alpha \int_a^b f(x)\,dx \quad \text{(linéarité)}$$Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$, $a \in I$, $b \in I$ et $a \leq b$ :
Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$, $a \in I$, $b \in I$ et $a \leq b$, alors il existe au moins un réel $c$ dans $[a ; b]$ tel que :
$$f(c) = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$$Le nombre $\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ s'appelle la valeur moyenne de $f$ sur $[a ; b]$.
Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, avec $u'$ et $v'$ continues sur $I$, et $a$, $b$ deux éléments de $I$. On a :
$$\int_a^b u'(x)\,v(x)\,dx = \big[u(x)\,v(x)\big]_a^b - \int_a^b u(x)\,v'(x)\,dx$$Soient $g$ une fonction dérivable sur $[a, b]$ telle que $g'$ est continue sur $[a, b]$, et $f$ une fonction continue sur $g([a, b])$. On a :
$$\int_a^b f\big(g(t)\big)\,g'(t)\,dt = \int_{g(a)}^{g(b)} f(x)\,dx$$Cette propriété s'appelle propriété du changement de variable.
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a ; b]$. L'aire, exprimée en unités d'aire (u.a.), du domaine situé entre la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = a$ et $x = b$ est :
$$A(\Delta_f) = \int_a^b |f(x)|\,dx$$L'aire du domaine compris entre deux courbes $C_f$ et $C_g$ sur $[a ; b]$ est :
$$S = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx$$Par exemple, si $f \geq g$ sur $[a ; c]$ et $g \geq f$ sur $[c ; b]$ :
$$S = \int_a^c \big(f(x) - g(x)\big)\,dx + \int_c^b \big(g(x) - f(x)\big)\,dx$$Autre exemple (domaine où $f$ change de signe aux abscisses $a'$ et $b'$ avec $a < a' < b' < b$) :
$$A(\Delta) = \int_a^{a'} f(x)\,dx + \int_{a'}^{b'} -f(x)\,dx + \int_{b'}^{b} f(x)\,dx$$Soit $(S)$ un solide compris entre les plans $z = a$ et $z = b$. Le volume (par unité de volume) du solide $(S)$ est :
$$V_{(S)} = \int_a^b S(t)\,dt$$où $S(t)$ est la surface de l'intersection du solide $\mathcal{S}$ et du plan $z = t$.
Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$. La rotation de la courbe $C_f$ autour de l'axe des abscisses engendre un solide de volume :
$$V = \int_a^b \pi\big(f(x)\big)^2\,dx \quad \text{(u.v.)}$$si le repère est $(O ; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ avec l'unité de volume $u.v = \|\vec{i}\|\,\|\vec{j}\|\,\|\vec{k}\|$.
Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$ ; $a < b$. On pose :
$$s_n = \frac{b - a}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\left(a + k\,\frac{b - a}{n}\right) \quad ; \quad S_n = \frac{b - a}{n}\sum_{k=1}^{n} f\left(a + k\,\frac{b - a}{n}\right)$$Les sommes $s_n$ et $S_n$ s'appellent les sommes de Riemann. Les suites $(s_n)_n$ et $(S_n)_n$ sont convergentes et :
$$\lim_{n \to +\infty} s_n = \lim_{n \to +\infty} S_n = \int_a^b f(x)\,dx$$Soit $f$ une fonction continue sur $I$ et $a \in I$. La fonction $F$ définie par $F(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$ est la fonction primitive de la fonction $f$ qui s'annule en $a$. La fonction $F$ est dérivable sur $I$ et $(\forall x \in I)(F'(x) = f(x))$.
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $J$ ; $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur $I$ telles que $u(I) \subset J$ et $v(I) \subset J$. La fonction $F(x) = \displaystyle\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt$ est dérivable sur $I$ et :
$$(\forall x \in I)\big(F'(x) = v'(x) \times f(v(x)) - u'(x) \times f(u(x))\big)$$Un exercice de ce chapitre vous bloque ? Solutions pas à pas.