Équations différentielles

Cours sur les équations différentielles 2 Bac SM : y′ = ay, y′ = ay + b, équation caractéristique et résolution de ay″ + by′ + cy = 0 selon le discriminant.

Rappel

Définition

Équation différentielle

Une équation différentielle est une équation ayant pour inconnue une ou plusieurs fonctions ; elle se présente sous la forme d'une relation entre ces fonctions inconnues et leurs dérivées successives. L'ordre d'une équation différentielle correspond au degré maximal de dérivation auquel l'une des fonctions inconnues a été soumise.

Remarque : pour simplifier l'écriture d'une équation différentielle, on note l'inconnue (qui est une fonction) $y$ au lieu de $y(x)$.

Proposition

L'équation $y^′ = ay (a \, réel)$

Soit $a$ un réel non nul. $(E)\ y' = ay$ est une équation différentielle définie sur $\mathbb{R}$. La solution générale de l'équation différentielle $(E)$ est l'ensemble des fonctions :

$$x \mapsto y(x) = \lambda e^{ax}$$

où $\lambda$ est un réel.

Proposition

L'équation $y^′ = ay + b (a\neq 0,\, b\, réels)$

Soit $a$ un réel non nul et $b$ un réel. $(E)\ y' = ay + b$ est une équation différentielle définie sur $\mathbb{R}$. La solution générale de l'équation différentielle $(E)$ est l'ensemble des fonctions :

$$x \mapsto y(x) = \lambda e^{ax} - \frac{b}{a}$$

où $\lambda$ est un réel.

[À VÉRIFIER] Le PDF imprime $y(x) = \lambda e^{x} - \dfrac{b}{a}$ ; il s'agit très probablement d'une coquille, la solution générale correcte étant $\lambda e^{ax} - \dfrac{b}{a}$ (cohérente avec le cas $y' = ay$).

Remarque : le réel $\lambda$ dans la solution générale de l'équation différentielle $(E)$ peut être déterminé par les conditions initiales.

Définition

Équation caractéristique de $ay'' + by' + cy = 0$

Soit $a$ un réel non nul et $b$ et $c$ des réels quelconques. Considérons l'équation différentielle $(E) : ay'' + by' + cy = 0$. L'équation :

$$(1) : ar^2 + br + c = 0$$

à variable réelle $r$ s'appelle l'équation caractéristique de l'équation différentielle $(E)$.

Propriété

Linéarité

L'équation $ay'' + by' + cy = 0$ est dite à coefficients constants si $a$, $b$ et $c$ sont des réels donnés. On suppose $a \neq 0$.

L'équation $ay'' + by' + cy = 0$ possède la propriété suivante : si $y_1$ et $y_2$ sont deux fonctions solutions de l'équation $ay'' + by' + cy = 0$, alors, pour tous nombres $A$ et $B$, la fonction $A y_1 + B y_2$ est aussi une solution. À cause de cette propriété, on dit que l'équation $ay'' + by' + cy = 0$ est linéaire.

Théorème

Résolution de (E) : $ay″ + by′ + cy = 0$

Soit l'équation différentielle $(E)\ ay'' + by' + cy = 0$ avec $a \neq 0$ et soit $(E_1) : ar^2 + br + c = 0$ son équation caractéristique. On pose $\Delta = b^2 - 4ac$ le discriminant de $(E_1)$.

Si $\Delta > 0$, l'équation $(E_1)$ a deux racines $r_1$ et $r_2$ réelles et distinctes, et les solutions de l'équation $(E)$ sont les fonctions $y(x) = A e^{r_1 x} + B e^{r_2 x}$ où $A$ et $B$ réels.
Si $\Delta < 0$, l'équation $(E_1)$ a deux racines $z_1$ et $z_2$ complexes conjuguées et si $z_1 = p + qi$, alors les solutions de l'équation $(E)$ sont les fonctions $y(x) = e^{px}\big(A \cos qx + B \sin qx\big)$ où $A$ et $B$ réels.
Si $\Delta = 0$, l'équation $(E_1)$ admet une racine double $r$ et les solutions de $(E)$ sont les fonctions $y(x) = (Ax + B)\,e^{rx}$ où $A$ et $B$ sont des réels.

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