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**Étape 1 : Calculer l'intégrale**
Soit $I = \int_0^1 \frac{e^{ax}}{1+e^{ax}} dx$
On utilise la substitution $u = e^{ax}$, donc $du = ae^{ax}dx$
$$I = \int_1^{e^a} \frac{1}{1+u} \cdot \frac{du}{a} = \frac{1}{a}\left[\ln(1+u)\right]_1^{e^a}$$
$$I = \frac{1}{a}\left[\ln(1+e^a) - \ln(2)\right] = \frac{1}{a}\ln\left(\frac{1+e^a}{2}\right)$$
**Étape 2 : Appliquer la condition donnée**
On nous dit que $I = \frac{1}{a}$, donc :
$$\frac{1}{a}\ln\left(\frac{1+e^a}{2}\right) = \frac{1}{a}$$
En multipliant par $a$ (où $a \neq 0$) :
$$\ln\left(\frac{1+e^a}{2}\right) = 1$$
**Étape 3 : Résoudre l'équation**
$$\frac{1+e^a}{2} = e^1 = e$$
$$1 + e^a = 2e$$
$$e^a = 2e - 1$$
$$a = \ln(2e-1)$$
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