Touchez votre réponse :
Calculons $I = \int_0^{\sqrt{3}} x^2 \ln(x^2+1)\, dx$ par intégration par parties.
**Étape 1 : Posons**
$$u = \ln(x^2+1), \quad dv = x^2\, dx$$
$$du = \frac{2x}{x^2+1}\, dx, \quad v = \frac{x^3}{3}$$
**Étape 2 : Appliquons la formule**
$$I = \left[\frac{x^3}{3}\ln(x^2+1)\right]_0^{\sqrt{3}} - \int_0^{\sqrt{3}} \frac{x^3}{3} \cdot \frac{2x}{x^2+1}\, dx$$
Le crochet donne : $\frac{(\sqrt{3})^3}{3}\ln(4) - 0 = \sqrt{3}\ln 2$ (car $(\sqrt{3})^3 = 3\sqrt{3}$ et $\ln 4 = 2\ln 2$)
**Étape 3 : Simplifions l'intégrale restante**
$$I = \sqrt{3}\ln 2 - \frac{2}{3}\int_0^{\sqrt{3}} \frac{x^4}{x^2+1}\, dx$$
Par division euclidienne : $\frac{x^4}{x^2+1} = x^2 - 1 + \frac{1}{x^2+1}$
$$\int_0^{\sqrt{3}} \frac{x^4}{x^2+1}\, dx = \left[\frac{x^3}{3} - x + \arctan x\right]_0^{\sqrt{3}}$$
$$= \sqrt{3} - \sqrt{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$$
**Étape 4 : Conclusion**
$$I = \sqrt{3}\ln 2 - \frac{2}{3} \cdot \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}\ln 2 - \frac{2\pi}{9}$$
$$= 2\left(\frac{\sqrt{3}\ln 2}{2} - \frac{\pi}{9}\right) = 2\left(\sqrt{3}\ln 2 - \frac{\pi}{9}\right)$$
La réponse c) est correcte.
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