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On calcule $I = \int_0^{\pi} e^{-x}\sin(x)\,dx$ par intégration par parties deux fois.
**Première IPP :** $u = \sin(x)$, $dv = e^{-x}dx$
$$du = \cos(x)dx, \quad v = -e^{-x}$$
$$I = \left[-e^{-x}\sin(x)\right]_0^{\pi} + \int_0^{\pi} e^{-x}\cos(x)\,dx$$
$$I = 0 + \int_0^{\pi} e^{-x}\cos(x)\,dx$$
**Deuxième IPP :** sur $\int_0^{\pi} e^{-x}\cos(x)\,dx$, avec $u = \cos(x)$, $dv = e^{-x}dx$
$$du = -\sin(x)dx, \quad v = -e^{-x}$$
$$\int_0^{\pi} e^{-x}\cos(x)\,dx = \left[-e^{-x}\cos(x)\right]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} e^{-x}\sin(x)\,dx$$
$$= -e^{-\pi}(-1) - (-1) - I = e^{-\pi} + 1 - I$$
**Résolution :** On a $I = e^{-\pi} + 1 - I$, donc
$$2I = 1 + e^{-\pi}$$
$$I = \frac{1}{2}\left(1 + e^{-\pi}\right)$$
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