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On utilise la formule d'intégration par parties ou on reconnaît que :
$$\int_1^2 f'(x) f''(x) dx = \left[\frac{(f'(x))^2}{2}\right]_1^2 = \frac{(f'(2))^2 - (f'(1))^2}{2}$$
Cette intégrale se calcule en remarquant que $\frac{d}{dx}\left[\frac{(f'(x))^2}{2}\right] = f'(x) f''(x)$.
Donc :
$$\frac{(f'(2))^2 - (f'(1))^2}{2} = 8$$
Par conséquent :
$$(f'(2))^2 - (f'(1))^2 = 16$$
On factorise :
$$(f'(2) - f'(1))(f'(2) + f'(1)) = 16$$
On utilise la condition donnée : $f'(2) - f'(1) = 2$
$$2 \cdot (f'(2) + f'(1)) = 16$$
$$f'(2) + f'(1) = 8$$
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