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**Méthode : utiliser une astuce classique**
Soit $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} dx$
Considérons aussi : $J = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} dx$
**Étape 1 :** Calculer $I + J$
$$I + J = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x} dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} 1 \, dx = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$$
**Étape 2 :** Calculer $I - J$
Dérivons le dénominateur : $(\sin x + \cos x)' = \cos x - \sin x$
Donc : $\frac{d}{dx}\ln|\sin x + \cos x| = \frac{\cos x - \sin x}{\sin x + \cos x}$
Par conséquent :
$$I - J = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x} dx = -\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos x - \sin x}{\sin x + \cos x} dx$$
$$I - J = -\left[\ln|\sin x + \cos x|\right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}$$
À $x = \frac{\pi}{3}$ : $\sin\frac{\pi}{3} + \cos\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$
À $x = \frac{\pi}{6}$ : $\sin\frac{\pi}{6} + \cos\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$
Donc : $I - J = -\ln\frac{\frac{\sqrt{3}+1}{2}}{\frac{\sqrt{3}+1}{2}} = -\ln(1) = 0$
**Étape 3 :** Résoudre le système
$$\begin{cases} I + J = \frac{\pi}{6} \\ I - J = 0 \end{cases}$$
De $I = J$ et $I + J = \frac{\pi}{6}$ : $2I = \frac{\pi}{6}$
$$I = \frac{\pi}{12}$$
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