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On calcule $\lim_{n \to +\infty} n - \sqrt{n^2 - n}$.
Cette forme $\infty - \infty$ est indéterminée. On utilise la conjugaison :
$$n - \sqrt{n^2 - n} = \frac{(n - \sqrt{n^2 - n})(n + \sqrt{n^2 - n})}{n + \sqrt{n^2 - n}}$$
$$= \frac{n^2 - (n^2 - n)}{n + \sqrt{n^2 - n}} = \frac{n}{n + \sqrt{n^2 - n}}$$
On factorise le dénominateur par $n$ :
$$\sqrt{n^2 - n} = n\sqrt{1 - \frac{1}{n}}$$
Donc :
$$\frac{n}{n + n\sqrt{1 - \frac{1}{n}}} = \frac{n}{n(1 + \sqrt{1 - \frac{1}{n}})} = \frac{1}{1 + \sqrt{1 - \frac{1}{n}}}$$
Quand $n \to +\infty$ : $\frac{1}{n} \to 0$, donc :
$$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{1 + \sqrt{1 - \frac{1}{n}}} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$$
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