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On utilise la limite fondamentale : $\lim_{t \to 0} (1 + t)^{1/t} = e$.
Posons $t = \frac{x}{7n}$. Quand $n \to +\infty$, on a $t \to 0$.
Réécrivons l'expression :
$$\left(1 + \frac{x}{7n}\right)^{29n} = \left(\left(1 + \frac{x}{7n}\right)^{\frac{7n}{x}}\right)^{\frac{29nx}{7n}} = \left(\left(1 + \frac{x}{7n}\right)^{\frac{7n}{x}}\right)^{\frac{29x}{7}}$$
Or, quand $n \to +\infty$ :
$$\left(1 + \frac{x}{7n}\right)^{\frac{7n}{x}} \to e$$
Donc :
$$\lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{x}{7n}\right)^{29n} = e^{\frac{29x}{7}}$$
Par hypothèse, cette limite égale $2022$ :
$$e^{\frac{29x}{7}} = 2022$$
En prenant le logarithme népérien des deux côtés :
$$\frac{29x}{7} = \ln 2022$$
$$x = \frac{7 \ln 2022}{29} = \frac{7}{29} \ln 2022$$
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