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On doit calculer $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+2\sqrt{x}}}$.
**Étape 1 :** Factoriser l'expression sous le radical au dénominateur.
$$x + 2\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)$$
**Étape 2 :** Réécrire la fonction.
$$f(x) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{\sqrt{x}} \cdot \sqrt{\sqrt{x} + 2}} = \frac{\sqrt{x}}{x^{1/4} \cdot \sqrt{\sqrt{x} + 2}}$$
**Étape 3 :** Simplifier $\frac{\sqrt{x}}{x^{1/4}}$.
$$\frac{\sqrt{x}}{x^{1/4}} = \frac{x^{1/2}}{x^{1/4}} = x^{1/4}$$
Donc : $f(x) = \frac{x^{1/4}}{\sqrt{\sqrt{x} + 2}}$
**Étape 4 :** Calculer la limite.
Quand $x \to 0^+$ :
- Numérateur : $x^{1/4} \to 0$
- Dénominateur : $\sqrt{\sqrt{x} + 2} \to \sqrt{0 + 2} = \sqrt{2}$
$$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \frac{0}{\sqrt{2}} = 0$$
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