Touchez votre réponse :
**Étude quand $x \to +\infty$ :**
$$f(x) = 2\ln\left(\frac{e^x + 2}{\sqrt{1+e^x}}\right) = 2\ln(e^x + 2) - 2\ln\left(\sqrt{1+e^x}\right)$$
$$= 2\ln(e^x + 2) - \ln(1+e^x)$$
Factorisons par $e^x$ :
$$f(x) = 2\ln\left(e^x\left(1 + 2e^{-x}\right)\right) - \ln\left(e^x(e^{-x}+1)\right)$$
$$= 2\left[x + \ln(1 + 2e^{-x})\right] - \left[x + \ln(e^{-x}+1)\right]$$
$$= 2x + 2\ln(1 + 2e^{-x}) - x - \ln(e^{-x}+1)$$
$$= x + 2\ln(1 + 2e^{-x}) - \ln(e^{-x}+1)$$
Quand $x \to +\infty$ : $e^{-x} \to 0$
$$f(x) \to x + 2\ln(1) - \ln(1) = x + 0 = x$$
Donc $f(x) - x \to 0$, ce qui signifie que $y = x$ est asymptote oblique.
**Vérification quand $x \to -\infty$ :** Le raisonnement similar confirme que $y = x$ est aussi asymptote.
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