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Pour calculer $\lim_{x \to 0^+} x^{\frac{1}{\ln(3x)}}$, on pose $y = x^{\frac{1}{\ln(3x)}}$ et on prend le logarithme :
$$\ln y = \frac{1}{\ln(3x)} \cdot \ln x = \frac{\ln x}{\ln(3x)}$$
Quand $x \to 0^+$ : $\ln x \to -\infty$ et $\ln(3x) \to -\infty$, donc on a une forme indéterminée $\frac{-\infty}{-\infty}$.
On applique la règle de L'Hôpital :
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{\ln(3x)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{d}{dx}(\ln x)}{\frac{d}{dx}(\ln(3x))} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} = 1$$
Donc $\lim_{x \to 0^+} \ln y = 1$, ce qui implique :
$$\lim_{x \to 0^+} y = e^1 = e$$
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