Touchez votre réponse :
**Étape 1 : Utiliser la périodicité**
Si $f$ est périodique de période $T > 0$, alors pour tout $x \in \mathbb{R}$ :
$$f(x + T) = f(x)$$
**Étape 2 : Analyser la limite**
Si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ existe dans $\mathbb{R}^*$, alors pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $A > 0$ tel que :
$$x > A \implies |f(x) - L| < \varepsilon$$
**Étape 3 : Appliquer la périodicité à la limite**
Pour tout $x > A$, considérons la suite $(x + nT)_{n \in \mathbb{N}}$ avec $n$ assez grand.
Par périodicité : $f(x + nT) = f(x)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Cependant, $x + nT \to +\infty$ quand $n \to +\infty$, donc :
$$\lim_{n \to +\infty} f(x + nT) = L$$
**Étape 4 : Conclusion**
Mais $f(x + nT) = f(x)$ pour tout $n$, donc $f(x) = L$ pour tout $x > A$.
Par périodicité, cette propriété s'étend à tout $\mathbb{R}$ :
$$f(x) = L \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}$$
Donc $f$ est la fonction constante $L$, avec $L \in \mathbb{R}^*$ (c'est-à-dire $L \neq 0$).
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