Touchez votre réponse :
On a une forme indéterminée $\frac{0}{0}$ quand $x \to 0$.
**Méthode 1 : Développements limités**
Pour $x \to 0$ :
- $\ln(e+x) = \ln e + \ln(1 + \frac{x}{e}) = 1 + \frac{x}{e} - \frac{x^2}{2e^2} + O(x^3)$
- $\sqrt{\ln(e+x)} = \sqrt{1 + \frac{x}{e} + O(x^2)} = 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{e} + O(x^2) = 1 + \frac{x}{2e} + O(x^2)$
Donc : $\sqrt{\ln(e+x)} - 1 = \frac{x}{2e} + O(x^2)$
- $\sqrt{x+1} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + O(x^3)$
Donc : $\sqrt{x+1} - 1 = \frac{x}{2} + O(x^2)$
**Calcul de la limite :**
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{\ln(e+x)} - 1}{\sqrt{x+1} - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{2e} + O(x^2)}{\frac{x}{2} + O(x^2)} = \frac{\frac{x}{2e}}{\frac{x}{2}} = \frac{1}{e}$$
**Vérification par l'Hôpital (alternative) :**
$$L = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2\sqrt{\ln(e+x)}} \cdot \frac{1}{e+x}}{\frac{1}{2\sqrt{x+1}}} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}}{(e+x)\sqrt{\ln(e+x)}} = \frac{1}{e \cdot 1} = \frac{1}{e}$$
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