Touchez votre réponse :
Soit $f(x) = x^5 + x - 1$.
**Étape 1 : Étudier le signe de la dérivée**
$$f'(x) = 5x^4 + 1$$
Pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a $5x^4 \geq 0$, donc $f'(x) = 5x^4 + 1 \geq 1 > 0$.
**Étape 2 : Conclusion sur la monotonie**
Comme $f'(x) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, la fonction $f$ est **strictement croissante** sur $\mathbb{R}$.
**Étape 3 : Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires**
Une fonction strictement monotone ne peut croiser l'axe des abscisses qu'**une seule fois**.
Vérification :
- $f(0) = 0 + 0 - 1 = -1 < 0$
- $f(1) = 1 + 1 - 1 = 1 > 0$
Par continuité et le TVI, il existe unique $c \in ]0, 1[$ tel que $f(c) = 0$.
**Réponse : b) $1$ solution**
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