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**Étape 1 : Identifier les affixes**
- $\Omega$ a pour affixe $\omega = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
- $M$ a pour affixe $z$
- $M'$ a pour affixe $z' = (1+i\sqrt{3})z + i$
**Étape 2 : Exprimer les vecteurs**
L'angle de $(\overrightarrow{\Omega M}, \overrightarrow{\Omega M'})$ est donné par :
$$\arg\left(\frac{z' - \omega}{z - \omega}\right)$$
**Étape 3 : Calculer $z' - \omega$**
$$z' - \omega = (1+i\sqrt{3})z + i - \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$$
$$= (1+i\sqrt{3})z + i + \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$= (1+i\sqrt{3})\left(z + \frac{\sqrt{3}}{3}\right) + i - (1+i\sqrt{3})\frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$= (1+i\sqrt{3})\left(z + \frac{\sqrt{3}}{3}\right) + i - \frac{\sqrt{3}}{3} - i$$
$$= (1+i\sqrt{3})\left(z + \frac{\sqrt{3}}{3}\right)$$
**Étape 4 : Calculer le rapport**
$$\frac{z' - \omega}{z - \omega} = \frac{(1+i\sqrt{3})(z + \frac{\sqrt{3}}{3})}{z + \frac{\sqrt{3}}{3}} = 1 + i\sqrt{3}$$
**Étape 5 : Calculer l'argument**
Soit $w = 1 + i\sqrt{3}$
- Module : $|w| = \sqrt{1 + 3} = 2$
- Forme trigonométrique : $w = 2\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$
Donc : $\arg(w) = \frac{\pi}{3} \ [2\pi]$
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