Touchez votre réponse :
**Étape 1 : Condition d'égalité des cubes**
Si $(z_1)^3 = (z_2)^3 = (z_3)^3$, alors $z_1$, $z_2$, $z_3$ sont les trois racines cubiques d'un même nombre complexe.
**Étape 2 : Forme générale des racines cubiques**
Si $z_1$ est une racine cubique de $w$, alors les trois racines cubiques sont :
$$z_1, \quad z_1 \cdot e^{2\pi i/3}, \quad z_1 \cdot e^{4\pi i/3}$$
Ou de manière équivalente, si $\omega = e^{2\pi i/3}$ (racine cubique primitive de l'unité) :
$$z_1, \quad z_1\omega, \quad z_1\omega^2$$
**Étape 3 : Vérification pour le choix b)**
Avec $z_1 = 1$, $z_2 = \omega$, $z_3 = \omega^2$ où $\omega = e^{2\pi i/3}$ :
- $(z_1)^3 = 1^3 = 1$
- $(z_2)^3 = \omega^3 = (e^{2\pi i/3})^3 = e^{2\pi i} = 1$
- $(z_3)^3 = (\omega^2)^3 = \omega^6 = (\omega^3)^2 = 1^2 = 1$
Les trois nombres ont bien le même cube : $1$.
**Étape 4 : Rejet des autres options**
- **a)** : $1^3 = 1$, $i^3 = -i$, $(-i)^3 = i$ → cubes différents ✗
- **c)** : Les trois nombres ne forment pas les trois racines cubiques d'un même nombre ✗
- **d)** : $2^3 = 8$, $(-1)^3 = -1$, $1^3 = 1$ → cubes différents ✗
- **e)** : $(-\omega)^3 = -\omega^3 = -1$ ≠ $1$ → cubes différents ✗
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