Touchez votre réponse :
**Étape 1 : Vérifier si la suite converge**
Si $(u_n)$ converge vers une limite $L$, alors $L = f(L)$ (point fixe).
$$L = \frac{\sqrt{L}}{\sqrt{L} + \sqrt{1-L}}$$
Multiplions par le dénominateur :
$$L(\sqrt{L} + \sqrt{1-L}) = \sqrt{L}$$
$$L\sqrt{L} + L\sqrt{1-L} = \sqrt{L}$$
$$L^{3/2} + L\sqrt{1-L} = L^{1/2}$$
**Étape 2 : Résoudre pour $L$**
Si $L \neq 0$ et $L \neq 1$, divisons par $L^{1/2}$ :
$$L + \sqrt{L}\sqrt{1-L} = 1$$
$$\sqrt{L(1-L)} = 1 - L$$
Élevons au carré :
$$L(1-L) = (1-L)^2$$
$$L(1-L) = (1-L)^2$$
Si $L \neq 1$ : divisons par $(1-L)$ :
$$L = 1-L$$
$$2L = 1$$
$$L = \frac{1}{2}$$
**Étape 3 : Vérifier que $L = 1/2$ est point fixe**
$$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{1/2}}{\sqrt{1/2} + \sqrt{1/2}} = \frac{\sqrt{1/2}}{2\sqrt{1/2}} = \frac{1}{2}$$ ✓
**Étape 4 : Points fixes possibles**
Les points fixes sont : $L = 0$, $L = 1$ (aux bords) et $L = \frac{1}{2}$ (intérieur).
**Étape 5 : Analyser la monotonie**
- Pour $x < 1/2$ : on peut montrer que $f(x) > x$ (la suite croît)
- Pour $x > 1/2$ : on peut montrer que $f(x) < x$ (la suite décroît)
Donc la suite converge vers $\boxed{\frac{1}{2}}$.
**Conclusion**
Les réponses a), b), c), d) sont fausses car $\lim u_n = \frac{1}{2}$, qui n'est pas parmi les choix a), b), c), d).
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