Touchez votre réponse :
**Étape 1 : Exprimer $w_n$ en fonction de $y_n$**
On a $y_n = \frac{4}{2 + w_n}$
Donc : $2 + w_n = \frac{4}{y_n}$, soit $w_n = \frac{4}{y_n} - 2 = \frac{4 - 2y_n}{y_n}$
**Étape 2 : Calculer $w_{n+1}$ en fonction de $w_n$**
$$w_{n+1} = \frac{w_n + 3}{2w_n + 4}$$
Substituons $w_n = \frac{4 - 2y_n}{y_n}$ :
$$w_{n+1} = \frac{\frac{4 - 2y_n}{y_n} + 3}{2 \cdot \frac{4 - 2y_n}{y_n} + 4}$$
**Étape 3 : Simplifier le numérateur**
Numérateur : $\frac{4 - 2y_n + 3y_n}{y_n} = \frac{4 + y_n}{y_n}$
**Étape 4 : Simplifier le dénominateur**
Dénominateur : $\frac{2(4 - 2y_n) + 4y_n}{y_n} = \frac{8 - 4y_n + 4y_n}{y_n} = \frac{8}{y_n}$
**Étape 5 : Calculer le quotient**
$$w_{n+1} = \frac{\frac{4 + y_n}{y_n}}{\frac{8}{y_n}} = \frac{4 + y_n}{8}$$
**Étape 6 : Trouver $y_{n+1}$**
$$y_{n+1} = \frac{4}{2 + w_{n+1}} = \frac{4}{2 + \frac{4 + y_n}{8}} = \frac{4}{\frac{16 + 4 + y_n}{8}} = \frac{4}{\frac{20 + y_n}{8}}$$
$$y_{n+1} = \frac{4 \times 8}{20 + y_n} = \frac{32}{20 + y_n}$$
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