Touchez votre réponse :
On cherche $\lim_{n \to +\infty} \frac{\sin^2 n - \cos^3 n}{n}$.
**Étape 1 : Majoration du numérateur**
Pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
- $|\sin^2 n| \leq 1$ (puisque $-1 \leq \sin n \leq 1$)
- $|\cos^3 n| \leq 1$ (puisque $-1 \leq \cos n \leq 1$)
**Étape 2 : Inégalité du numérateur**
Par l'inégalité triangulaire :
$$|\sin^2 n - \cos^3 n| \leq |\sin^2 n| + |\cos^3 n| \leq 1 + 1 = 2$$
**Étape 3 : Application du théorème des gendarmes**
On en déduit :
$$\left|\frac{\sin^2 n - \cos^3 n}{n}\right| \leq \frac{2}{n}$$
Comme $\lim_{n \to +\infty} \frac{2}{n} = 0$, par le théorème des gendarmes :
$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\sin^2 n - \cos^3 n}{n} = 0$$
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