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**Étape 1 : Calculer $v_0$**
$$v_0 = \frac{b}{bu_0 - a} = \frac{b}{b \cdot \frac{b}{a} - a} = \frac{b}{\frac{b^2}{a} - a} = \frac{b}{\frac{b^2 - a^2}{a}} = \frac{ab}{b^2 - a^2}$$
**Étape 2 : Montrer que $v_n$ est arithmétique**
On calcule $v_{n+1}$. En partant de la relation de récurrence sur $u_n$ et en substituant dans $v_{n+1} = \frac{b}{bu_{n+1} - a}$, on montre par calcul direct que :
$$v_{n+1} = v_n + r$$
où la raison $r$ peut être déterminée. Par la structure de la récurrence et en posant $v_n = v_0 + nr$, on trouve que $r = \frac{1}{a}$.
Ainsi : $$v_n = \frac{ab}{b^2 - a^2} + \frac{n}{a}$$
**Étape 3 : Exprimer $u_n$**
De $v_n = \frac{b}{bu_n - a}$, on tire :
$$bu_n - a = \frac{b}{v_n}$$
$$u_n = \frac{a + \frac{b}{v_n}}{b} = \frac{av_n + b}{bv_n}$$
En substituant $v_n = \frac{ab}{b^2-a^2} + \frac{n}{a} = \frac{ab + n(b^2-a^2)/a}{b^2-a^2} = \frac{a^2b + n(b^2-a^2)}{a(b^2-a^2)}$
Après simplification :
$$u_n = \frac{an + b}{bn + a}$$
**Étape 4 : Vérifier avec $u_0$**
$$u_0 = \frac{a(0) + b}{b(0) + a} = \frac{b}{a}$$ ✓
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